Номер 12, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.2. Конус - номер 12, страница 9.

Условие.

12 Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения, проведённого через две образующие, угол между которыми равен 30°.

Решение.

По условию задачи треугольник APB ______, а так как PA = ______, то $\angle \mathit{PAO} = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике PAO катет $\mathit{PA} = \frac{\mathit{AO}}{\cos\text{______}} = \text{______}\sqrt{2}$ м.

Пусть $\angle \mathit{APC} = 30^\circ$, тогда сечение, проведённое через образующие PA и ______, является ______ треугольником, в котором $\mathit{PC} = \text{______} = 2\text{______}$ м. Поэтому $S_{\text{APC}} = \frac{1}{2}(\mathit{PA})^2\text{______} = \frac{1}{2}(\text{______})^2 \cdot \frac{1}{2} = \text{______}$ (м²).

Ответ.

______

Решение.

Решение 2.

Решение.

По условию задачи осевое сечение конуса, треугольник $APB$, является прямоугольным. Так как стороны $PA$ и $PB$ являются образующими конуса, они равны между собой ($PA = PB$). Это означает, что треугольник $APB$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором прямой угол находится при вершине $P$, то есть $\angle APB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $PAO$, где $PO$ — высота конуса, а $AO$ — радиус его основания. Этот треугольник является прямоугольным ($\angle POA = 90^\circ$). Угол $\angle PAO$ — это угол при основании в равнобедренном треугольнике $APB$, следовательно, он равен $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Длина радиуса основания $AO$ дана в условии и равна 2 м. Мы можем найти длину образующей $PA$, которая в треугольнике $PAO$ является гипотенузой: $PA = \frac{AO}{\cos(\angle PAO)} = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ м.

Искомое сечение представляет собой треугольник $APC$, образованный двумя образующими $PA$ и $PC$. Все образующие конуса равны, поэтому $PA = PC = 2\sqrt{2}$ м. Угол между этими образующими по условию равен $\angle APC = 30^\circ$.

Площадь треугольника $APC$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

$S_{APC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PC \cdot \sin(\angle APC) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как $(2\sqrt{2})^2 = 8$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{APC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 2$ м².

Ответ: $2$ м².