Страница 16 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

21 В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса). Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды. (Задача 424а учебника.)

Решение.

Пусть правильная усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$ вписана в усечённый конус с осью $OO_1$ (см. рис. а). По условию задачи $OA = \_\_\_$ см, $O_1A_1 = \_\_\_$ см, $OO_1 = \_\_\_$ см.

1) Радиус $OA$ окружности, описанной около правильного $\_\_\_$ $ABC$, выражается через сторону $AB$ формулой $OA = AB \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда $AB = OA \cdot \sqrt{\_\_\_} = \_\_\_$ (см), $S_{ABC} = AB^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\_\_\_} = \_\_\_$ (см$^2$).

Аналогично получаем $A_1B_1 = \_\_\_$ см, $S_{A_1B_1C_1} = A_1B_1^2 \cdot \frac{\sqrt{\_\_\_}}{\_\_\_} = \_\_\_$ (см$^2$).

2) Проведём $AH \perp O_1A_1$. Тогда $AH = OO_1 = \_\_\_$ см, $HA_1 = O_1A_1 - \_\_\_ = \_\_\_ - OA = \_\_\_$ (см). В прямоугольном треугольнике $AHA_1$ $AA_1 = \sqrt{AH^2 + \_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_$ (см).

3) Боковая грань $AA_1B_1B$ усечённой пирамиды (см. рис. б) является $\_\_\_\_$ трапецией, основания которой равны $\_\_\_$ см и $\_\_\_$ см, а боковая сторона равна $\_\_\_$ см.

Проведём в трапеции высоты $AK$ и $BM$. Тогда $KA_1 = \frac{1}{2}(\_\_\_ - AB) = \_\_\_ \sqrt{3}$ см, $AK = \sqrt{AA_1^2 - \_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_} = \_\_\_$ (см).

$S_{AA_1B_1B} = \frac{AB + \_\_\_}{\_\_\_} \cdot \_\_\_ = \frac{2\sqrt{3} + \_\_\_}{2} \cdot \sqrt{73} = \_\_\_$ (см$^2$).

4) Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ усечённой пирамиды в $\_\_\_$ раза больше площади $\_\_\_$ грани, т. е. $S_{бок} = 3S_{AA_1B_1B} = \_\_\_$ см$^2$.

5) $S_{полн} = S_{ABC} + S_{A_1B_1C_1} + \_\_\_ = 3\sqrt{3} + \_\_\_ + \_\_\_ = \frac{\sqrt{3}}{\_\_\_} (\_\_\_ + \_\_\_ \sqrt{73})$ (см$^2$).

Ответ. $\_\_\_\_\_$

Пусть правильная усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$ вписана в усечённый конус с осью $OO_1$ (см. рис. а). По условию задачи даны радиусы оснований усечённого конуса, которые являются радиусами окружностей, описанных около оснований пирамиды: $OA = 2$ см, $O_1A_1 = 5$ см. Высота усечённого конуса, она же высота пирамиды, $OO_1 = 4$ см.

1) Найдём стороны и площади оснований пирамиды.

Основаниями правильной усечённой треугольной пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, связан с ней формулой $R = a \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для верхнего основания (треугольник $ABC$):
$OA = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда сторона $AB = \frac{3 \cdot OA}{\sqrt{3}} = OA \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{ABC} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ см².

Аналогично для нижнего основания (треугольник $A_1B_1C_1$):
Сторона $A_1B_1 = O_1A_1 \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.
Площадь $S_{A_1B_1C_1} = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см².

Ответ: Площадь верхнего основания $S_{ABC} = 3\sqrt{3}$ см², площадь нижнего основания $S_{A_1B_1C_1} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см².

2) Найдём длину бокового ребра $AA_1$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через вершины $A$ и $A_1$. Оно представляет собой трапецию. Проведём высоту $AH$ из точки $A$ на плоскость нижнего основания. $AH$ параллельна и равна высоте пирамиды $OO_1$. В плоскости сечения образуется прямоугольный треугольник $AHA_1$.
Один катет равен высоте пирамиды: $AH = OO_1 = 4$ см.
Второй катет $HA_1$ равен разности радиусов оснований: $HA_1 = O_1A_1 - OA = 5 - 2 = 3$ см.
По теореме Пифагора находим гипотенузу $AA_1$, которая является боковым ребром пирамиды:
$AA_1 = \sqrt{AH^2 + HA_1^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: Длина бокового ребра равна 5 см.

3) Найдём площадь боковой грани, например, $AA_1B_1B$.

Боковая грань правильной усечённой пирамиды — это равнобокая трапеция. Её основания — это стороны оснований пирамиды: $AB = 2\sqrt{3}$ см и $A_1B_1 = 5\sqrt{3}$ см. Боковая сторона — это боковое ребро пирамиды: $AA_1 = 5$ см.

Для вычисления площади трапеции нужна её высота (апофема усечённой пирамиды). Проведём в трапеции $AA_1B_1B$ высоту $AK$ из вершины $A$ на основание $A_1B_1$. В равнобокой трапеции отрезок $KA_1$ вычисляется по формуле: $KA_1 = \frac{A_1B_1 - AB}{2} = \frac{5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Из прямоугольного треугольника $AKA_1$ по теореме Пифагора находим высоту $AK$:
$AK = \sqrt{AA_1^2 - KA_1^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{100 - 27}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

Площадь трапеции (одной боковой грани):
$S_{AA_1B_1B} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AK = \frac{2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{7\sqrt{219}}{4}$ см².

Ответ: Площадь одной боковой грани равна $\frac{7\sqrt{219}}{4}$ см².

4) Найдём площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых боковых граней.$S_{бок} = 3 \cdot S_{AA_1B_1B} = 3 \cdot \frac{7\sqrt{219}}{4} = \frac{21\sqrt{219}}{4}$ см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна $\frac{21\sqrt{219}}{4}$ см².

5) Вычислим площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей обоих оснований и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{ABC} + S_{A_1B_1C_1} + S_{бок} = 3\sqrt{3} + \frac{75\sqrt{3}}{4} + \frac{21\sqrt{219}}{4}$.

Приведём слагаемые к общему знаменателю и преобразуем выражение:
$S_{полн} = \frac{12\sqrt{3}}{4} + \frac{75\sqrt{3}}{4} + \frac{21\sqrt{3 \cdot 73}}{4} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{3}\sqrt{73}}{4}$.

Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{3}}{4}$ за скобки:
$S_{полн} = \frac{\sqrt{3}}{4}(87 + 21\sqrt{73})$ см².

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}(87 + 21\sqrt{73})$ см².