Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

28 Все стороны треугольника ABC касаются сферы с центром O. Найдите радиус сферы, если расстояние от её центра до плоскости ABC равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ см, $ AB = 3 $ см, $ BC = 5 $ см, $ AC = 7 $ см.

Решение.

Пусть $M, N$ и $P$ — точки касания сферы со сторонами треугольника ABC, $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из центра сферы к плоскости ABC. Сечением сферы плоскостью ABC является окружность с центром $O_1$, вписанная в ___________. Найдём радиус этой окружности. С одной стороны, $S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)}$ __________ = __________ $(см^2)$.

С другой стороны, $S_{ABC} = p \cdot r$, где $p$ __________ , а $r$ __________ . Поэтому $ \frac{15\sqrt{3}}{4} $ = __________ ,

откуда $r$ = __________ см.

Так как $OO_1 \perp ABC$, то треугольник $OO_1M$ __________ . $(\angle O_1 = 90^\circ, OO_1$ = __________ см, $O_1M$ = __________ см), поэтому $R = OM$ = __________ = __________ (см).

Ответ.

__________ см.

Для нахождения радиуса сферы $R$ необходимо последовательно выполнить три шага. Сначала найти площадь треугольника ABC, затем радиус вписанной в него окружности $r$, и в конце, используя теорему Пифагора, найти искомый радиус сферы.

1. Нахождение площади треугольника ABC

Используем формулу Герона, так как известны длины всех сторон треугольника: $AB=3$ см, $BC=5$ см, $AC=7$ см.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$ см.

Теперь найдем площадь $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)}$

$S_{ABC} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{\sqrt{225 \cdot 3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см².

Ответ: Площадь треугольника $S_{ABC} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Нахождение радиуса вписанной окружности (r)

Сечение сферы плоскостью ABC — это окружность, вписанная в треугольник ABC. Её радиус $r$ связан с площадью и полупериметром по формуле $S_{ABC} = p \cdot r$.

Выразим $r$ из этой формулы:

$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{15\sqrt{3}/4}{15/2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Нахождение радиуса сферы (R)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1M$, где O — центр сферы, $O_1$ — центр вписанной окружности (проекция O на плоскость ABC), M — точка касания. Катетами этого треугольника являются расстояние от центра сферы до плоскости $OO_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см (по условию) и радиус вписанной окружности $O_1M = r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Гипотенуза $OM$ является искомым радиусом сферы $R$.

По теореме Пифагора $R^2 = OO_1^2 + O_1M^2$:

$R^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

29 Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере.

а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника.

б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см. (Задача 415 учебника.)

Решение.

а) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $\sqrt{1,8^2 + 2,4^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3$ (см), т. е. равна диаметру сферы. Поэтому центр сферы является серединой гипотенузы и, следовательно, лежит в плоскости треугольника.

б) Пусть вершины прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = 1,8$ см и $BC = 2,4$ см лежат на сфере с центром $O$, $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к плоскости $ABC$. Сечение сферы этой плоскостью является окружностью с центром $O_1$, а прямоугольный треугольник $ABC$ вписан в эту окружность. Следовательно, точка $O_1$ — середина гипотенузы $AB$, а так как $AB = \sqrt{1,8^2 + 2,4^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3$ (см), то $AO_1 = \frac{1}{2}AB = 1,5$ (см).

Так как $OO_1 \perp \alpha$, то треугольник $AO_1O$ — прямоугольный.

И $OO_1 = \sqrt{AO^2 - AO_1^2} = \sqrt{6,5^2 - 1,5^2} = \sqrt{42,25 - 2,25} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ (см).

Ответ. б) $2\sqrt{10}$ см.

а) Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора, где катеты $AC = 1,8$ см и $BC = 2,4$ см.
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1,8^2 + 2,4^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3$ см.
Вершины треугольника лежат на сфере, значит, треугольник вписан в окружность, которая является сечением сферы плоскостью этого треугольника. Радиус этой описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:
$r_{окр} = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.
По условию, радиус сферы $R_{сферы}$ также равен 1,5 см.
Расстояние $d$ от центра сферы до плоскости сечения, радиус сечения $r_{окр}$ и радиус сферы $R_{сферы}$ связаны соотношением: $R_{сферы}^2 = r_{окр}^2 + d^2$.
Подставим известные значения: $1,5^2 = 1,5^2 + d^2$.
Отсюда следует, что $d^2 = 0$, то есть $d = 0$.
Нулевое расстояние означает, что центр сферы совпадает с центром описанной окружности треугольника, который лежит в плоскости самого треугольника.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ - центр сферы, а плоскость треугольника $ABC$ пересекает сферу по окружности с центром в точке $O_1$. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра $OO_1$.
Окружность, по которой плоскость пересекает сферу, является описанной для треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, центр его описанной окружности $O_1$ является серединой гипотенузы $AB$.
Найдем гипотенузу $AB$:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1,8^2 + 2,4^2} = \sqrt{9} = 3$ см.
Радиус описанной окружности $r$ (отрезок $AO_1$) равен половине гипотенузы:
$r = AO_1 = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.
Рассмотрим треугольник $AOO_1$. Он прямоугольный, так как $OO_1$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O_1$. В этом треугольнике:
- $AO$ - гипотенуза, равная радиусу сферы $R = 6,5$ см.
- $AO_1$ - катет, равный радиусу описанной окружности $r = 1,5$ см.
- $OO_1$ - второй катет, который является искомым расстоянием.
По теореме Пифагора: $AO^2 = AO_1^2 + OO_1^2$.
$OO_1^2 = AO^2 - AO_1^2 = R^2 - r^2 = 6,5^2 - 1,5^2$.
Используем формулу разности квадратов:
$OO_1^2 = (6,5 - 1,5)(6,5 + 1,5) = 5 \cdot 8 = 40$.
$OO_1 = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.
Ответ: $2\sqrt{10}$ см.