Страница 26 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

35 Сфера касается граней двугранно-го угла 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно $a$. (Задача 386 учебника.)

Решение.

Пусть полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ — грани данного двугранного угла, прямая $m$ — ребро этого угла, а точка $O$ — центр сферы, касающей-ся граней двугранного угла в точках $A$ и $B$. Тогда $OA \perp \alpha$, $OB \perp \beta$ (так как радиус, ___).

Проведём через пересекающиеся прямые $OA$ и $OB$ плоскость $\gamma$. Она пересечёт ребро $m$ в некоторой точке $C$.

1) $m \perp OA$, так как $OA$ ___, аналогично $m$ ___, поэто-му $m \perp \gamma$ (по признаку ___). Отсюда следует, что угол $ACB$ линейный ___, т. е. $\angle ACB = ___$, а $OC = ___$.

2) Точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$, так как ___ = ___ = $R$, где $R$ — радиус сферы, следовательно, она лежит на его ___, т. е. $\angle OCB = ___$. Из ___ треугольника $OCB$ находим: $OB = R = ___$, $BC = ___$. Аналогично получаем $AC = ___$.

3) Из равнобедренного треугольника $ACB$, в котором $AC = ___ = ___$, $\angle ACB = ___$, находим: $AB = 2 \cdot AC \cdot \sin ___ = ___$.

Ответ.

Ответ. ___, ___

Пусть полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ — грани данного двугранного угла, прямая $m$ — ребро этого угла, а точка $O$ — центр сферы, касающейся граней двугранного угла в точках $A$ и $B$. Тогда $OA \perp \alpha$, $OB \perp \beta$ (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости).

Проведём через точку $O$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $m$. Она пересечёт ребро $m$ в некоторой точке $C$.

1) Так как по построению плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $m$, то любая прямая в этой плоскости перпендикулярна $m$. Точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости $\gamma$. Поэтому $AC \perp m$ и $BC \perp m$. Отсюда следует, что угол $ACB$ линейный двугранного угла, т. е. $\angle ACB = $ $120^\circ$. Расстояние от центра сферы $O$ до ребра $m$ — это длина перпендикуляра $OC$, т.е. $OC =$ $a$.

2) Точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$, так как $OA = OB$ = $R$, где $R$ — радиус сферы (поскольку $OA$ и $OB$ являются расстояниями от точки $O$ до граней $\alpha$ и $\beta$ соответственно, и $OA \perp AC$, $OB \perp BC$). Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе его угла, т. е. $\angle OCB = $ $\frac{1}{2} \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $OCB$ (угол $\angle OBC = 90^\circ$) находим: $OB = R = $ $OC \cdot \sin(\angle OCB) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $BC = $ $OC \cdot \cos(\angle OCB) = a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a}{2}$. Аналогично получаем $AC = $ $\frac{a}{2}$.

3) Из равнобедренного треугольника $ACB$, в котором $AC = $ $BC$ = $\frac{a}{2}$, $\angle ACB = $ $120^\circ$, находим расстояние между точками касания $AB$. По теореме косинусов:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.$AB = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Или, используя формулу из текста:$AB = 2 \cdot AC \cdot \sin$ $\left(\frac{\angle ACB}{2}\right)$ $= $ $2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: радиус сферы $R = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, расстояние между точками касания $AB = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

36 Радиусы двух параллельных сечений сферы, расположенных по разные стороны от её центра, равны 3 см и 4 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 7 см. Найдите площадь сферы.

Решение.

Рассмотрим сечение сферы радиу-са R плоскостью, проходящей через её центр O и перпендикулярной секу-щим плоскостям. В сечении получим окружность с центром O и радиусом R (окружность большого ), хорды AB и CD которой — диамет-ры , причём $AB \parallel \underline{\hspace{2em}}$. Пусть $OO_1 \perp AB$, $OO_2 \perp CD$, тогда $OA = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$.

$O_1A = 4$ см, $O_2C = 3$ см, $O_1O_2 = 7$ см.

Пусть $OO_1 = x$ (см), тогда $OO_2 = \underline{\hspace{2em}}$ (см). Из треугольников $AO_1O$ и $CO_2O$ получаем $R^2 = \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}$, откуда $x^2 + 16 = \underline{\hspace{2em}}$ и $x = \underline{\hspace{2em}}$

Итак, $OO_1 = \underline{\hspace{2em}}$ см, поэтому $R = \underline{\hspace{2em}}$ см, $S_{сферы} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см$^2$).

Ответ. $\underline{\hspace{2em}}$ см$^2$.

Решение.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение сферы, которое проходит через её центр $O$ и перпендикулярно плоскостям двух параллельных сечений. В этом осевом сечении сфера будет выглядеть как большой круг радиуса $R$, а сечения — как две параллельные хорды.

Пусть радиусы сечений равны $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры этих сечений. Тогда в нашем осевом сечении мы имеем два прямоугольных треугольника, образованных радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом сечения $r$ (один катет) и расстоянием $h$ от центра сферы до плоскости сечения (второй катет).

По условию, сечения расположены по разные стороны от центра сферы. Расстояние между секущими плоскостями равно 7 см. Это расстояние равно сумме расстояний от центра сферы до каждой из плоскостей: $h_1 + h_2 = 7$ см.

Пусть $h_1$ — расстояние до сечения с радиусом $r_1 = 3$ см, а $h_2$ — расстояние до сечения с радиусом $r_2 = 4$ см. Обозначим $h_2 = x$, тогда $h_1 = 7 - x$.

По теореме Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников можно записать:
1. $R^2 = h_1^2 + r_1^2 = (7-x)^2 + 3^2$
2. $R^2 = h_2^2 + r_2^2 = x^2 + 4^2$

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:
$x^2 + 4^2 = (7-x)^2 + 3^2$
$x^2 + 16 = (49 - 14x + x^2) + 9$
$x^2 + 16 = 58 - 14x + x^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:
$16 = 58 - 14x$
$14x = 58 - 16$
$14x = 42$
$x = \frac{42}{14} = 3$ см.

Итак, расстояние до одного из сечений равно $h_2 = 3$ см. Теперь мы можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$, используя второе уравнение:
$R^2 = x^2 + 16 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4 \pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2 = 25$:
$S_{сферы} = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi$ см$^2$.

Ответ: $100 \pi$ см$^2$.