Страница 32 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

43 Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды. (Задача 426 учебника.)

Доказательство.

На рисунке изображена правильная $n$-угольная пирамида $MA_1A_2...A_n$, $MH$ — её высота. Обозначим через $\alpha_1$ полуплоскость, делящую пополам двугранный угол пирамиды при ребре $A_1A_2$; через $\alpha_2$ — полуплоскость, делящую пополам ____________ при ребре $A_2A_3$; ...; через $\alpha_n$ — ____________. В силу правильности пирамиды каждая из этих полуплоскостей пересекается с высотой $MH$ в ____________ (обозначим её $O$). Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех ____________ и потому является ____________.

Точка $O$ — единственная общая точка полуплоскостей $\alpha_1$,

В самом деле, $\alpha_1$ и $\alpha_2$ пересекаются по лучу ____________ , а луч $A_2O$ имеет с полуплоскостью $\alpha_3$ только ____________ точку — точку $O$. Итак, в правильную пирамиду можно ____________ , причём центр вписанной сферы лежит ____________.

Доказательство.

На рисунке изображена правильная $n$-угольная пирамида $MA_1A_2...A_n$, $MH$ — её высота. Обозначим через $\alpha_1$ полуплоскость, делящую пополам двугранный угол пирамиды при ребре $A_1A_2$; через $\alpha_2$ — полуплоскость, делящую пополам двугранный угол пирамиды при ребре $A_2A_3$; ...; через $\alpha_n$ — полуплоскость, делящую пополам двугранный угол пирамиды при ребре $A_nA_1$. В силу правильности пирамиды каждая из этих полуплоскостей пересекается с высотой $MH$ в одной и той же точке (обозначим её $O$). Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех граней пирамиды и потому является центром вписанной в неё сферы.

Точка $O$ — единственная общая точка полуплоскостей $\alpha_1$, $\alpha_2, \dots, \alpha_n$. В самом деле, $\alpha_1$ и $\alpha_2$ пересекаются по лучу $A_2O$, а луч $A_2O$ имеет с полуплоскостью $\alpha_3$ только одну общую точку — точку $O$.

Итак, в правильную пирамиду можно вписать сферу, причём центр вписанной сферы лежит на её высоте.

Ответ: Утверждение доказано. Геометрическое место точек, равноудаленных от всех боковых граней и основания правильной пирамиды, есть точка, лежащая на высоте пирамиды. Эта точка и является центром вписанной сферы.