Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

50 В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $B_1D$ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$, а двугранный угол $A_1B_1BD$ равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см. (Задача 449 учебника.)

Решение.

На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) По условию $\angle B_1DB = 45^\circ$, поэтому из $\Delta B_1BD$ находим: $BB_1 = \text{______} = \text{______}$

2) $\angle ABD$ — линейный угол ______ угла $A_1B_1BD$ (так как $BA \perp \text{______}$ и $BD \perp \text{______}$), поэтому $\angle ABD = 60^\circ$, $AB = \text{______}$, $AD = \text{______}$ (см).

Итак, $V = AB \cdot \text{______} = \text{______} = \text{______}$

Ответ. ______

1) По условию, диагональ $B_1D$ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$. Этот угол является углом между наклонной $B_1D$ и её проекцией на плоскость основания, которой является диагональ основания $BD$. Таким образом, $\angle B_1DB = 45^\circ$.
Поскольку параллелепипед прямоугольный, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что треугольник $\triangle B_1BD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$.
Так как один из острых углов прямоугольного треугольника $\triangle B_1BD$ равен $45^\circ$, то он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $BB_1 = BD$.
По условию задачи диагональ основания $BD = 12$ см, значит, высота параллелепипеда $BB_1 = 12$ см.

2) Двугранный угол $A_1B_1BD$ равен $60^\circ$. Этот угол образован плоскостями боковой грани $(ABB_1A_1)$ и диагонального сечения $(BDD_1B_1)$, которые пересекаются по ребру $BB_1$.
Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle ABD$, так как $BA \perp BB_1$ (ребро $BA$ перпендикулярно ребру $BB_1$ в прямоугольной грани) и $BD \perp BB_1$ (ребро $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости основания).
Следовательно, $\angle ABD = 60^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, лежащий в основании. Так как основание $ABCD$ — прямоугольник, то $\triangle ABD$ — прямоугольный с прямым углом $\angle A = 90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ известна гипотенуза $BD = 12$ см и острый угол $\angle ABD = 60^\circ$. Найдём длины катетов $AB$ и $AD$:
$AB = BD \cdot \cos(\angle ABD) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
$AD = BD \cdot \sin(\angle ABD) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Итак, зная все три измерения параллелепипеда, найдём его объём по формуле $V = AB \cdot AD \cdot BB_1$:
$V = 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3} \cdot 12 = 432\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $432\sqrt{3}$ см³.