Страница 34 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

45 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $60^\circ$. Найдите радиус вписанной в пирамиду сферы.

Решение.

Пусть $MABC$ — правильная треугольная пирамида, $MH$ — её высота. Центр $O$ вписанной в пирамиду сферы лежит на высоте $MH$ и $OH = r$ — искомый __________. Пусть $CD \perp AB$, тогда $H \in$ __________ и $\angle MDC$ — линейный __________ при ребре $AB$. По условию он равен __________. Так как точка $O$ — центр вписанной сферы, то она является точкой пересечения полуплоскости, делящей пополам __________ при ребре $AB$, и её высоты $MH$. Поэтому луч $DO$ — __________ треугольника __________.

угла $MDC$ и $\angle ODH = __________. Из __________ находим радиус сферы: $OH = __________ = __________$.

Ответ.

В правильной треугольной пирамиде MABC сторона основания равна $a$, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $60^\circ$. Требуется найти радиус $r$ вписанной в пирамиду сферы.

1. Пусть $MH$ — высота пирамиды. Так как пирамида правильная, её основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а точка $H$ — его центр. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра $O$ до плоскости основания равно радиусу вписанной сферы, то есть $OH = r$.

2. Проведём апофему $MD$ (высоту боковой грани $MAB$) и высоту основания $CD$. Так как $D$ — середина $AB$, то $MD \perp AB$ и $CD \perp AB$. Следовательно, угол $\angle MDC$ является линейным углом двугранного угла между боковой гранью $(MAB)$ и основанием $(ABC)$. По условию задачи, $\angle MDC = 60^\circ$.

3. Центр вписанной сферы $O$ равноудалён от всех граней пирамиды. Это означает, что он лежит на биссекторной плоскости каждого двугранного угла. В частности, точка $O$ лежит в плоскости, делящей пополам двугранный угол при ребре $AB$. Так как точка $O$ также лежит на высоте $MH$ (и, следовательно, в плоскости $MCD$), луч $DO$ является биссектрисой угла $\angle MDC$.

4. Из этого следует, что $\angle ODH = \frac{1}{2} \angle MDC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ODH$. Угол $\angle OHD = 90^\circ$, так как $MH$ — высота, перпендикулярная основанию. Катет $OH$ — это искомый радиус $r$. Для его нахождения нам нужно определить длину катета $HD$.

6. Точка $H$ является центром равностороннего треугольника $ABC$ и точкой пересечения его медиан. Она делит медиану $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$. Длина высоты (медианы) $CD$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $CD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда длина отрезка $HD$ составляет: $HD = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

7. Теперь, зная катет $HD$ и угол $\angle ODH$, из прямоугольного треугольника $ODH$ находим радиус $r = OH$:

$r = OH = HD \cdot \tan(\angle ODH)$

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \tan(30^\circ)$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{6}$.

Ответ: $r = \frac{a}{6}$.