Страница 37 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

48 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AC = 15$ см, $DC_1 = 4\sqrt{13}$ см, $DB_1 = 17$ см.

Решение.

Пусть $V$ – искомый объём, тогда $V = AB \cdot AD \cdot AA_1$. Из определения прямоугольного параллелепипеда следует, что его боковые рёбра _______________ к плоскости основания, а основанием является _______________

1) $\Delta B_1BD$ – _______________, так как $B_1B$ _______________ $ABC$, причём $BD = \text{_______} = \text{_______}$ см, $DB_1 = \text{_______}$ см. По теореме _______________ $BB_1 = \text{_______} = \text{_______}$ (см).

2) $\Delta B_1C_1D$ – _______________, так как $B_1C_1$ _______________, причём $DC_1 = \text{_______} = \text{_______}$ см, $B_1D = \text{_______} = \text{_______}$ см. Следовательно, $B_1C_1 = \text{_______} = \text{_______}$ (см).

3) $\Delta BAD$ – _______________ и $BD = \text{_______} = \text{_______}$ см, $AD = \text{_______} = \text{_______}$ см, поэтому $AB = \text{_______} = \text{_______}$ (см).

Итак, $V = AB \cdot \text{_______} = \text{_______} = \text{_______}$ (см$^3$).

Ответ. $\text{_______}$ см$^3$.

Пусть $V$ — искомый объём, тогда $V = AB \cdot AD \cdot AA_1$. Из определения прямоугольного параллелепипеда следует, что его боковые рёбра перпендикулярны к плоскости основания, а основанием является прямоугольник.

1) $\Delta B_1BD$ — прямоугольный, так как ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит и диагонали $BD$, лежащей в этой плоскости. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны, причём $BD = AC = 15$ см, а пространственная диагональ $DB_1 = 17$ см. По теореме Пифагора найдём высоту параллелепипеда $BB_1$:
$BB_1 = \sqrt{DB_1^2 - BD^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ (см).
Ответ: $AA_1 = BB_1 = 8$ см.

2) $\Delta B_1C_1D$ — прямоугольный, так как ребро $B_1C_1$ перпендикулярно боковой грани $CDD_1C_1$, а значит и диагонали $C_1D$, лежащей в этой грани. Гипотенузой является пространственная диагональ $B_1D = DB_1 = 17$ см. Катет $C_1D$ является диагональю грани $CDD_1C_1$, его длина равна данной в условии длине диагонали $DC_1 = 4\sqrt{13}$ см. По теореме Пифагора найдём сторону $B_1C_1$:
$B_1C_1 = \sqrt{B_1D^2 - C_1D^2} = \sqrt{17^2 - (4\sqrt{13})^2} = \sqrt{289 - 16 \cdot 13} = \sqrt{289 - 208} = \sqrt{81} = 9$ (см).
Ответ: $AD = B_1C_1 = 9$ см.

3) $\Delta BAD$ — прямоугольный, так как основание $ABCD$ является прямоугольником. Гипотенуза $BD = 15$ см, и катет $AD = 9$ см (найден в п. 2). По теореме Пифагора найдём второй катет $AB$:
$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ (см).
Ответ: $AB = 12$ см.

Итак, зная все три измерения параллелепипеда, найдём его объём:
$V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 12 \cdot 9 \cdot 8 = 864$ (см³).

Ответ: 864 см³.

49 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его диагональ равна $4\sqrt{2}$ см и составляет с плоскостью основания угол в $30^\circ$, а с плоскостью боковой грани угол в $45^\circ$.

Решение.

На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Так как прямая $B_1D$ — проекция прямой _____ на _____, то $\angle B_1DB = \underline{\hspace{3cm}}$.

Из _____ треугольника $B_1DB$ находим: $BB_1 = \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ (см), $BD = 4\sqrt{2} \cdot \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ (см).

2) Так как прямая $C_1D$ — проекция _____ на плоскость $D_1CC_1$, то $\angle B_1DC_1 = \underline{\hspace{3cm}}$.

Из _____ треугольника $B_1DC_1$ находим: $B_1C_1 = \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ (см).

3) $\triangle BAD$ _____ , $BD = \underline{\hspace{3cm}}$ , $AD = \underline{\hspace{3cm}}$ = $\underline{\hspace{3cm}}$ см, поэтому $AB = \underline{\hspace{3cm}}$ = $\underline{\hspace{3cm}}$ (см).

Итак, $V = AB \cdot \underline{\hspace{3cm}} \cdot \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$.

Ответ. $\underline{\hspace{8cm}}$

1) Так как прямая $BD$ — проекция прямой $B_1D$ на плоскость основания $(ABC)$, то $\angle B_1DB = 30°$. Из прямоугольного треугольника $B_1DB$ находим: $BB_1 = 4\sqrt{2} \sin 30° = 2\sqrt{2}$ (см), $BD = 4\sqrt{2} \cdot \cos 30° = 2\sqrt{6}$ (см).

2) Так как прямая $C_1D$ — проекция прямой $B_1D$ на плоскость $D_1CC_1$, то $\angle B_1DC_1 = 45°$. Из прямоугольного треугольника $B_1DC_1$ находим: $B_1C_1 = B_1D \sin 45° = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ (см).

3) $\triangle BAD$ прямоугольный, $BD = 2\sqrt{6}$ см, поэтому $AB = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 4^2} = \sqrt{24 - 16} = 2\sqrt{2}$ см, $AD = 4$ (см).

Итак, $V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 32$ (см³).

Ответ: $32$ см³.