Страница 45 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

59 В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с углом в $30^\circ$. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом $60^\circ$, высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите объём пирамиды.

Решение.

Пусть $MABCD$ — данная пирамида, отрезок $MO$ — её высота, $ME, MP, MF, MQ$ — высоты боковых граней. Тогда $OE \perp \underline{\hspace{2cm}}$, $OP \perp \underline{\hspace{2cm}}$, $OF \perp \underline{\hspace{2cm}}$, $OQ \perp \underline{\hspace{2cm}}$ (по теореме о $\underline{\hspace{10cm}}$ ), и, следовательно, $\angle MEO = \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}}$ (как $\underline{\hspace{4cm}}$ углов между $\underline{\hspace{15cm}}$ ).

$\underline{\hspace{1cm}}$ и $\underline{\hspace{4cm}}$ равны по катету ($MO$ — $\underline{\hspace{4cm}}$ ) и $\underline{\hspace{15cm}}$, поэтому $OE = \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}}$. Отсюда следует, что окружность с центром $O$ радиуса $\underline{\hspace{10cm}}$ является $\underline{\hspace{15cm}}$.

Из $\underline{\hspace{15cm}}$ треугольника $MOP$ находим:

$OP = MO \cdot \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}}$ (см).

Пусть $BT$ — высота трапеции, тогда $BT = \underline{\hspace{2cm}} = 2 \cdot \underline{\hspace{2cm}} = 6$ (см).

Из $\underline{\hspace{15cm}}$ треугольника $ABT$, в котором $\angle A = \underline{\hspace{2cm}}$, находим: $AB = 2 \cdot \underline{\hspace{2cm}} = 12$ см.

Так как в равнобедренную трапецию $ABCD$ можно вписать $\underline{\hspace{15cm}}$, то $BC + AD = 2 \cdot \underline{\hspace{2cm}} = 24$ (см). Следовательно,

$S_{ABCD} = \underline{\hspace{2cm}} \cdot \underline{\hspace{2cm}} \cdot BT = \underline{\hspace{2cm}} \cdot \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}}$ (см$^{2}$),

$V_{MABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}}$ (см$^{3}$).

Ответ. $\underline{\hspace{3cm}}$ см$^{3}$.

Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом ($60^\circ$), то вершина пирамиды $M$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в основание. Отрезки $OE$, $OP$, $OF$, $OQ$ являются радиусами этой окружности, перпендикулярными сторонам трапеции $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOP$, образованный высотой пирамиды $MO$, радиусом вписанной окружности $OP$ и апофемой $MP$. Угол $\angle MPO$ — это линейный угол двугранного угла при основании, и по условию он равен $60^\circ$. Высота пирамиды $MO = 3\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника $MOP$ находим радиус вписанной окружности $r=OP$:

$r = OP = \frac{MO}{\text{tg}(\angle MPO)} = MO \cdot \text{ctg}(60^\circ) = 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$ (см).

Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Проведём высоту трапеции $BT$.
$BT = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ (см).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABT$, где $AB$ — боковая сторона трапеции, а $\angle A = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $BT = \frac{1}{2}AB$.
$AB = 2 \cdot BT = 2 \cdot 6 = 12$ (см).

По свойству описанного четырёхугольника, суммы длин противоположных сторон трапеции равны. Так как трапеция равнобедренная ($AB=CD$), то сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$BC + AD = AB + CD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 12 = 24$ (см).

Теперь найдём площадь основания пирамиды — площадь трапеции $ABCD$:
$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BT = \frac{24}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ (см²).

Наконец, вычислим объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$ :
$V_{MABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot MO = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 3\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ (см³).

Ответ: $72\sqrt{3}$ см³.