Страница 46 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

60 Угол в развёртке боковой поверхности конуса равен $120^\circ$, а площадь боковой поверхности конуса равна $24\pi$. Найдите объём конуса.

a) б)

Решение.

Данный конус с вершиной $M$ и высотой $MO$ изображён на рисунке а, развёртка его боковой поверхности — на рисунке б. Пусть образующая конуса равна $l$, а радиус основания равен $r$. Тогда по

$S_\text{бок} = \pi \text{_____} = 24\pi$, откуда $rl = \text{_____}$.

C другой стороны, $S_\text{бок} = S_\text{развёртки} = \frac{\pi}{360^\circ} \cdot \text{_____} = \text{_____} l^2 = 24\pi$. Отсюда

получаем: $l = \text{_____}$, $r = 24 : \text{_____} = \text{_____}$.

Из прямоугольного треугольника $MOA$ находим: $MO = \sqrt{\text{_____} - \text{_____}} = \sqrt{\text{_____} - \text{_____}} = \text{_____}$. Объём $V$ конуса вычисляем по

формуле $V = \text{_____} = \text{_____}$.

Ответ.

Для решения задачи обозначим образующую конуса как $l$, радиус его основания как $r$, и высоту как $h$.

1. Нахождение образующей $l$ и радиуса основания $r$.

Площадь боковой поверхности конуса, $S_{бок}$, можно выразить двумя способами.

С одной стороны, через радиус основания и образующую: $S_{бок} = \pi r l$.
По условию $S_{бок} = 24\pi$, следовательно, $\pi r l = 24\pi$, откуда получаем первое соотношение:
$r l = 24$.

С другой стороны, площадь боковой поверхности равна площади её развёртки. Развёртка представляет собой круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса $l$, а центральный угол, по условию, $\alpha = 120^\circ$. Площадь такого сектора вычисляется по формуле:
$S_{развёртки} = \frac{\pi l^2 \alpha}{360^\circ}$
Подставим известные значения:
$S_{бок} = \frac{\pi l^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}\pi l^2$.

Теперь приравняем это выражение к известной площади боковой поверхности, чтобы найти $l$:
$\frac{1}{3}\pi l^2 = 24\pi$
Разделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 3:
$l^2 = 24 \cdot 3 = 72$
$l = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Теперь, используя соотношение $r l = 24$, найдём радиус основания $r$:
$r = \frac{24}{l} = \frac{24}{6\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

2. Нахождение высоты конуса $h$.

Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + r^2$
Отсюда выразим высоту:
$h = \sqrt{l^2 - r^2}$
Мы уже знаем, что $l^2 = 72$. Найдём $r^2$:
$r^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Подставим значения в формулу для высоты:
$h = \sqrt{72 - 8} = \sqrt{64} = 8$.

3. Вычисление объёма конуса $V$.

Объём конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Подставим найденные значения $r^2 = 8$ и $h = 8$:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot 8 = \frac{64\pi}{3}$.

Ответ: $V = \frac{64\pi}{3}$.