Страница 52 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

66 Точка $M$ — середина ребра $BC$ правильного тетраэдра $DABC$.

а) Началом каких ненулевых векторов, изображённых на рисунке, служит точка $A$?

б) Концом каких данных ненулевых векторов служит точка $A$?

в) Как называется и обозначается вектор с концом и началом в точке $C$?

г) Нарисуйте цветным карандашом векторы $\vec{MC}, \vec{MB}, \vec{AM}$.

д) Найдите длины векторов $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{MC}, \vec{MB}, \vec{AM}$, если $|\vec{DA}| = 2$.

Ответ. а) $\vec{AB}$, ______; б) ______; в) вектор с началом и ______ в точке $C$ называется ______ и обозначается ______ или ______; д) $|\vec{AB}| =$ ______, $| \quad | =$ ______.

а) Началом ненулевого вектора является точка, из которой он исходит. На рисунке из точки A можно построить векторы вдоль ребер тетраэдра, выходящих из этой вершины. Это векторы, направленные к точкам B, C и D.

Ответ: $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$.

б) Концом ненулевого вектора является точка, в которую он направлен (куда указывает его стрелка). На рисунке розовым цветом явно показаны два вектора, которые заканчиваются в точке A: вектор из точки D в точку A и вектор из точки B в точку A.

Ответ: $\vec{DA}, \vec{BA}$.

в) Вектор, у которого начало и конец совпадают в одной и той же точке, называется нулевым вектором или нуль-вектором. Его длина равна нулю, а направление не определено.

Ответ: Вектор с началом и концом в точке C называется нулевым вектором и обозначается $\vec{CC}$ или $\vec{0}$.

г) Этот пункт является инструкцией к действию. Необходимо нарисовать следующие направленные отрезки: вектор $\vec{MC}$ с началом в точке M и концом в точке C; вектор $\vec{MB}$ с началом в точке M и концом в точке B; вектор $\vec{AM}$ с началом в точке A и концом в точке M.

д) По условию, DABC — правильный тетраэдр. Это значит, что все его грани являются равносторонними треугольниками, и, следовательно, все ребра тетраэдра равны по длине. Дано, что $|\vec{DA}| = 2$, значит, длина ребра DA равна 2. Таким образом, длина каждого ребра тетраэдра равна 2: $AB = AC = BC = DA = DB = DC = 2$.

Длина вектора равна длине соответствующего ему отрезка.

• Длина вектора $\vec{AB}$: $|\vec{AB}| = AB = 2$.
• Длина вектора $\vec{AC}$: $|\vec{AC}| = AC = 2$.

Точка M — середина ребра BC. Так как длина ребра $BC = 2$, то длины отрезков MC и MB равны: $MC = MB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

• Длина вектора $\vec{MC}$: $|\vec{MC}| = MC = 1$.
• Длина вектора $\vec{MB}$: $|\vec{MB}| = MB = 1$.

Для нахождения длины вектора $\vec{AM}$ рассмотрим грань ABC. Это равносторонний треугольник со стороной 2. Отрезок AM является медианой этого треугольника, так как M — середина BC. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, поэтому $\triangle AMC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AMC$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AM^2 + MC^2$

$2^2 = AM^2 + 1^2$

$4 = AM^2 + 1$

$AM^2 = 4 - 1 = 3$

$AM = \sqrt{3}$

Следовательно, длина вектора $\vec{AM}$ равна $|\vec{AM}| = \sqrt{3}$.

Ответ: $|\vec{AB}| = 2$, $|\vec{AC}| = 2$, $|\vec{MC}| = 1$, $|\vec{MB}| = 1$, $|\vec{AM}| = \sqrt{3}$.

67 Заполните пропуски:

a) Два ненулевых _______ называются коллинеарными, если они лежат на одной _______ или на _______ прямых (обозначение: $ \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD} $).

б) Два ненулевых _______ $ \overrightarrow{BC} $ и $ \overrightarrow{KM} $ называются сонаправленными, если они _______ и лучи BC и _______ сонаправлены (обозначение: $ \overrightarrow{BC} $ _______ $ \overrightarrow{KM} $).

в) Два ненулевых вектора $ \overrightarrow{CE} $ и $ \overrightarrow{PT} $ называются противоположно _______, если они _______ и лучи CE и PT _______ направлены (обозначение: $ \overrightarrow{CE} $ _______ $ \overrightarrow{PT} $).

г) Нулевой вектор считается сонаправленным с _______ вектором.

д) Векторы называются равными, если они _______ и их длины _______, т. е. $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} $, если $ \overrightarrow{AB} $ _______ $ \overrightarrow{CD} $ и $ |\overrightarrow{AB}| $ _______ $ |\overrightarrow{CD}| $.

а) Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (обозначение: $\vec{AB} \parallel \vec{CD}$).

Ответ: вектора, прямой, параллельных.

б) Два ненулевых вектора $\vec{BC}$ и $\vec{KM}$ называются сонаправленными, если они коллинеарны и лучи BC и KM сонаправлены (обозначение: $\vec{BC} \uparrow\uparrow \vec{KM}$).

Ответ: вектора, коллинеарны, KM, $\uparrow\uparrow$.

в) Два ненулевых вектора $\vec{CE}$ и $\vec{PT}$ называются противоположно направленными, если они коллинеарны и лучи CE и PT противоположно направлены (обозначение: $\vec{CE} \uparrow\downarrow \vec{PT}$).

Ответ: направленными, коллинеарны, противоположно, $\uparrow\downarrow$.

г) Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

Ответ: любым.

д) Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны, т. е. $\vec{AB} = \vec{CD}$, если $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{CD}$ и $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$.

Ответ: сонаправлены, равны, $\uparrow\uparrow$, =.