Страница 55 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

72 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что

$\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BD} = \vec{A_1D_1} + \vec{BA_1} + \vec{C_1B}.$

Доказательство.

1) $\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BD} =$

$= (\vec{AB} + \vec{CA}) + \vec{BD} =$

$= (\vec{CA} + \vec{AB}) + \vec{BD} =$

$= \vec{CB} + \vec{BD} =$

$= \vec{CD}$

2) $\vec{A_1D_1} + \vec{BA_1} + \vec{C_1B} =$

$= \vec{A_1D_1} + (\vec{BA_1} + \vec{C_1B}) =$

$= \vec{A_1D_1} + (\vec{C_1B} + \vec{BA_1}) =$

$= \vec{A_1D_1} + \vec{C_1A_1} =$

$= \vec{C_1A_1} + \vec{A_1D_1} =$

$= \vec{C_1D_1}$

Обоснование.

закон

закон

треугольника

правило

закон

закон

треугольника

закон

правило

Грань $CDD_1C_1$ параллелепипеда является параллелограммом, следовательно, $\vec{CD}$ равно $\vec{C_1D_1}$. Поэтому $\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BD} = \vec{A_1D_1} + \vec{BA_1} + \vec{C_1B}$, что и требовалось доказать.

1) Выполним преобразование левой части равенства, заполняя пропуски в доказательстве:

$\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{CA}) + \vec{BD}$ — Обоснование: сочетательный закон.

$= (\vec{CA} + \vec{AB}) + \vec{BD}$ — Обоснование: переместительный закон.

$= \vec{CB} + \vec{BD}$ — Обоснование: правило треугольника.

$= \vec{CD}$ — Обоснование: правило треугольника.

Ответ: Результатом преобразования левой части является вектор $\vec{CD}$.

2) Выполним преобразование правой части равенства:

$\vec{A_1D_1} + \vec{BA_1} + \vec{C_1B} = \vec{A_1D_1} + (\vec{BA_1} + \vec{C_1B})$ — Обоснование: сочетательный закон.

$= \vec{A_1D_1} + (\vec{C_1B} + \vec{BA_1})$ — Обоснование: переместительный закон.

$= \vec{A_1D_1} + \vec{C_1A_1}$ — Обоснование: правило треугольника.

$= \vec{C_1A_1} + \vec{A_1D_1}$ — Обоснование: переместительное правило (коммутативность).

$= \vec{C_1D_1}$ — Обоснование: правило треугольника.

Ответ: Результатом преобразования правой части является вектор $\vec{C_1D_1}$.

Завершим доказательство, заполнив пропуски в последнем абзаце:

Грань $CDD_1C_1$ параллелепипеда является параллелограммом, следовательно, $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$. Поэтому, так как левая часть равенства равна $\vec{CD}$, а правая равна $\vec{C_1D_1}$, то исходное равенство $\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BD} = \vec{A_1D_1} + \vec{BA_1} + \vec{C_1B}$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство завершено. Равенство $\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BD} = \vec{A_1D_1} + \vec{BA_1} + \vec{C_1B}$ верно.