Номер 71, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 71, страница 54.

71 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD}$.

Решение.

Первый способ.

$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \text{_______}) + \vec{AD}$ ($\text{_______}$ закон). Так как грань $ABB_1A_1$ является $\text{_______}$, то по правилу параллелограмма получаем

$\vec{AB} + \vec{AA_1} = \text{_______}$. Четырёхугольник $AB_1C_1D$ $\text{_______}$, следовательно, по правилу $\text{_______}$

$\vec{AB_1} + \vec{AD} = \text{_______}$

Итак, $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\text{_______} + \vec{AA_1}) + \text{_______} = \text{_______} + \vec{AD} = \text{_______}$

Второй способ.

$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AB} + (\vec{AA_1} + \text{_______})$ ($\text{_______}$ закон). Грань $AA_1D_1D$ $\text{_______}$, следовательно, по правилу $\text{_______}$

$\vec{AA_1} + \vec{AD} = \text{_______}$. Четырёхугольник $AD_1C_1B$ $\text{_______}$, следовательно, по правилу $\text{_______}$

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \text{_______}$

Итак, $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \text{_______}) + \text{_______} + (\text{_______} + \vec{AD}) = \text{_______} + \text{_______}$

Ответ. $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \text{_______}$

Первый способ.Мы можем сгруппировать векторы, используя сочетательный закон сложения векторов. Сначала сложим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$.$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \vec{AA_1}) + \vec{AD}$ (сочетательный закон).Так как грань $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелепипедом, то его грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной точки, их сумма равна вектору диагонали, выходящей из той же точки. Следовательно:$\vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{AB_1}$.Теперь наша задача — найти сумму $\vec{AB_1} + \vec{AD}$.Рассмотрим четырёхугольник $AB_1C_1D$. В параллелепипеде $\vec{AD} = \vec{B_1C_1}$. Так как два противолежащих вектора равны, то четырёхугольник $AB_1C_1D$ — параллелограмм.Следовательно, по правилу параллелограмма:$\vec{AB_1} + \vec{AD} = \vec{AC_1}$.Это правило также известно как правило параллелепипеда: сумма трёх некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, выходящей из той же точки.
Ответ: $\vec{AC_1}$.

Второй способ.Сгруппируем векторы иначе, снова используя сочетательный закон:$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AB} + (\vec{AA_1} + \vec{AD})$ (сочетательный закон).Сначала найдём сумму в скобках. Грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма:$\vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AD_1}$.Теперь исходное выражение принимает вид: $\vec{AB} + \vec{AD_1}$.Рассмотрим четырёхугольник $ABD_1C_1$. В параллелепипеде вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{D_1C_1}$. Так как противолежащие векторы равны, то четырёхугольник $ABD_1C_1$ является параллелограммом (в задании он назван $AD_1C_1B$).Следовательно, по правилу параллелограмма для векторов, выходящих из общей точки $A$:$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AC_1}$.Результат, полученный обоими способами, совпадает.
Ответ: $\vec{AC_1}$.