Страница 54 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

70 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Постройте вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

a) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DC}$;

б) $\vec{DC}$ и $\vec{AA_1}$.

2) Сравните суммы векторов $\vec{AA_1} + \vec{DC}$ и $\vec{DC} + \vec{AA_1}$.

Решение.

1) Для построения суммы векторов используем правило треугольника.

a) От конца вектора $\vec{AA_1}$ — точки $A_1$ — отложим вектор $\vec{A_1B_1}$, равный вектору $\vec{DC}$. Суммой векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{A_1B_1}$ является вектор $\vec{AB_1}$ (изобразите его на рисунке). Итак, $\vec{AA_1} + \vec{DC} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1} = \vec{AB_1}$

б) Откладывая от конца вектора $\vec{DC}$ вектор $\vec{CC_1}$, равный вектору $\vec{AA_1}$, получаем $\vec{DC} + \vec{AA_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1} = \vec{DC_1}$ (изобразите этот вектор на рисунке).

2) Начала и концы полученных векторов A, B_1 и D, C_1 служат вершинами четырёхугольника $ADC_1B_1$, который является параллелограммом. Следовательно, $AB_1 = DC_1$ и лучи $AB_1$ и $DC_1$ сонаправлены, а значит, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Итак, $\vec{AA_1} + \vec{DC} = \vec{DC} + \vec{AA_1}$.

1) а) Постройте вектор $\vec{AA_1} + \vec{DC}$

Для сложения векторов по правилу треугольника необходимо перенести второй вектор так, чтобы его начало совпадало с концом первого вектора. В данном случае, мы должны перенести вектор $\vec{DC}$ так, чтобы его начало было в точке $A_1$.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются параллелограммами. В частности, грань $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, а также $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$.
По свойству параллелепипеда, ребра, которые параллельны и равны по длине, определяют равные векторы. Вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{A_1B_1}$, так как $A_1B_1CD$ является параллелограммом (поскольку $A_1B_1$ параллельно и равно $AB$, а $AB$ параллельно и равно $DC$).

Следовательно, мы можем заменить вектор $\vec{DC}$ на равный ему вектор $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{AA_1} + \vec{DC} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1}$

По правилу треугольника, сумма этих векторов — это вектор, идущий из начала первого вектора (точка $A$) в конец второго вектора (точка $B_1$). Таким образом, искомый вектор — это $\vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{AA_1} + \vec{DC} = \vec{AB_1}$

1) б) Постройте вектор $\vec{DC} + \vec{AA_1}$

Теперь сложим векторы в другом порядке. По правилу треугольника, перенесем вектор $\vec{AA_1}$ так, чтобы его начало совпадало с концом вектора $\vec{DC}$, то есть с точкой $C$.

Вектор, равный вектору $\vec{AA_1}$ и начинающийся в точке $C$, — это вектор $\vec{CC_1}$, так как боковая грань $AA_1C_1C$ является параллелограммом.

Следовательно, мы можем заменить вектор $\vec{AA_1}$ на равный ему вектор $\vec{CC_1}$:

$\vec{DC} + \vec{AA_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника, суммой является вектор, идущий из начала первого вектора (точка $D$) в конец второго вектора (точка $C_1$). Таким образом, искомый вектор — это $\vec{DC_1}$.

Ответ: $\vec{DC} + \vec{AA_1} = \vec{DC_1}$

2) Сравните суммы векторов $\vec{AA_1} + \vec{DC}$ и $\vec{DC} + \vec{AA_1}$

В пункте 1) а) мы получили, что $\vec{AA_1} + \vec{DC} = \vec{AB_1}$.
В пункте 1) б) мы получили, что $\vec{DC} + \vec{AA_1} = \vec{DC_1}$.

Теперь сравним полученные векторы-результаты: $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. У него стороны $AB_1$ и $DC_1$. Разложим эти векторы по правилу сложения:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

По определению параллелепипеда:

• Противоположные стороны основания равны и параллельны, значит $\vec{AB} = \vec{DC}$.
• Боковые ребра параллельны и равны, значит $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Так как правые части выражений для векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ состоят из попарно равных векторов, то и сами векторы равны: $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Следовательно, и исходные суммы равны. Это демонстрирует коммутативный (переместительный) закон сложения векторов.

Ответ: Суммы векторов равны: $\vec{AA_1} + \vec{DC} = \vec{DC} + \vec{AA_1}$.

71 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD}$.

Решение.

Первый способ.

$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \text{_______}) + \vec{AD}$ ($\text{_______}$ закон). Так как грань $ABB_1A_1$ является $\text{_______}$, то по правилу параллелограмма получаем

$\vec{AB} + \vec{AA_1} = \text{_______}$. Четырёхугольник $AB_1C_1D$ $\text{_______}$, следовательно, по правилу $\text{_______}$

$\vec{AB_1} + \vec{AD} = \text{_______}$

Итак, $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\text{_______} + \vec{AA_1}) + \text{_______} = \text{_______} + \vec{AD} = \text{_______}$

Второй способ.

$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AB} + (\vec{AA_1} + \text{_______})$ ($\text{_______}$ закон). Грань $AA_1D_1D$ $\text{_______}$, следовательно, по правилу $\text{_______}$

$\vec{AA_1} + \vec{AD} = \text{_______}$. Четырёхугольник $AD_1C_1B$ $\text{_______}$, следовательно, по правилу $\text{_______}$

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \text{_______}$

Итак, $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \text{_______}) + \text{_______} + (\text{_______} + \vec{AD}) = \text{_______} + \text{_______}$

Ответ. $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \text{_______}$

Первый способ.Мы можем сгруппировать векторы, используя сочетательный закон сложения векторов. Сначала сложим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$.$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \vec{AA_1}) + \vec{AD}$ (сочетательный закон).Так как грань $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелепипедом, то его грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной точки, их сумма равна вектору диагонали, выходящей из той же точки. Следовательно:$\vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{AB_1}$.Теперь наша задача — найти сумму $\vec{AB_1} + \vec{AD}$.Рассмотрим четырёхугольник $AB_1C_1D$. В параллелепипеде $\vec{AD} = \vec{B_1C_1}$. Так как два противолежащих вектора равны, то четырёхугольник $AB_1C_1D$ — параллелограмм.Следовательно, по правилу параллелограмма:$\vec{AB_1} + \vec{AD} = \vec{AC_1}$.Это правило также известно как правило параллелепипеда: сумма трёх некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, выходящей из той же точки.
Ответ: $\vec{AC_1}$.

Второй способ.Сгруппируем векторы иначе, снова используя сочетательный закон:$\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AB} + (\vec{AA_1} + \vec{AD})$ (сочетательный закон).Сначала найдём сумму в скобках. Грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма:$\vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AD_1}$.Теперь исходное выражение принимает вид: $\vec{AB} + \vec{AD_1}$.Рассмотрим четырёхугольник $ABD_1C_1$. В параллелепипеде вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{D_1C_1}$. Так как противолежащие векторы равны, то четырёхугольник $ABD_1C_1$ является параллелограммом (в задании он назван $AD_1C_1B$).Следовательно, по правилу параллелограмма для векторов, выходящих из общей точки $A$:$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AC_1}$.Результат, полученный обоими способами, совпадает.
Ответ: $\vec{AC_1}$.