Страница 57 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

74 Докажите, что $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{DC}$.

Доказательство. Используя формулу $\vec{a} - \vec{b} = \underline{\phantom{\vec{a}}} + (-\vec{b})$ и равенство $-\vec{CD} = \vec{DC}$, получаем $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + (-\underline{\phantom{\vec{CD}}}) = \vec{AB} + \underline{\phantom{\vec{DC}}}$, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Чтобы доказать равенство $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{DC}$, необходимо завершить предложенный в задании ход решения, заполнив пропуски, основываясь на определениях и свойствах векторов.

1. Первый пропуск находится в формуле разности векторов: $\vec{a} - \vec{b} = \_\_\_ + (-\vec{b})$. По определению, разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (т.е. $-\vec{b}$). Следовательно, формула имеет вид $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. В первый пропуск нужно вписать $\vec{a}$.

2. Второй пропуск находится в выражении: $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + (-\_\_\_)$. Здесь формула разности векторов применяется к конкретным векторам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, где $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$. Применяя формулу, получаем: $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + (-\vec{CD})$. Таким образом, во второй пропуск необходимо вписать $\vec{CD}$.

3. Третий пропуск находится в конце равенства: $= \vec{AB} + \_\_\_$. На этом шаге используется указанное в условии свойство противоположных векторов: вектор, противоположный вектору $\vec{CD}$, равен вектору $\vec{DC}$. Математически это записывается как $-\vec{CD} = \vec{DC}$. Подставив $\vec{DC}$ вместо $(-\vec{CD})$ в выражение из предыдущего шага, получаем $\vec{AB} + (-\vec{CD}) = \vec{AB} + \vec{DC}$. Следовательно, в третий пропуск нужно вписать $\vec{DC}$.

Заполнив все пропуски, мы получаем завершенное доказательство:

Используя формулу $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ и равенство $-\vec{CD} = \vec{DC}$, получаем $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + (-\vec{CD}) = \vec{AB} + \vec{DC}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Пропуски в доказательстве по порядку: $\vec{a}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$.

75 Упростите выражение:

а) $\vec{AB} - \vec{KB} + \vec{MC} - \vec{MO} - \vec{OK};$

б) $\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA}.$

Решение.

а) $\vec{AB} - \vec{KB} + \underline{\quad} - \vec{MO} - \vec{OK} = \vec{AB} + \vec{BK} + \vec{MC} + \underline{\quad} - \vec{OK} = \underline{\quad} + \underline{\quad} + \vec{OM} + \vec{MC} + (-\underline{\quad}) = \vec{AK} + \underline{\quad} + \underline{\quad} + \vec{OC} = \vec{AO} + \underline{\quad} = \underline{\quad}$

б) $\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA} = \vec{KM} - \vec{PM} - \underline{\quad} - \vec{CA} + \underline{\quad} = \vec{KM} + \underline{\quad} + \vec{PA} + \underline{\quad} + \vec{CE} = \vec{KP} + \underline{\quad} + \vec{CE} = \underline{\quad} + \underline{\quad} = \underline{\quad}$

Ответ. а) $\underline{\quad}$ ; б) $\underline{\quad}$

а) Упростите выражение: $\vec{AB} - \vec{KB} + \vec{MC} - \vec{MO} - \vec{OK}$

Для упрощения векторного выражения будем использовать следующие правила:

• Замена вычитания вектора на сложение с противоположным вектором: $-\vec{XY} = \vec{YX}$.
• Правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

1. Преобразуем вычитание в сложение:

$\vec{AB} - \vec{KB} + \vec{MC} - \vec{MO} - \vec{OK} = \vec{AB} + \vec{BK} + \vec{MC} + \vec{OM} - \vec{OK}$

2. Сгруппируем векторы, чтобы применить правило треугольника. Сложение векторов коммутативно и ассоциативно, поэтому мы можем менять их местами и группировать по-разному.

$(\vec{AB} + \vec{BK}) + (\vec{OM} + \vec{MC}) - \vec{OK}$

3. Выполним сложение в скобках:

$\vec{AB} + \vec{BK} = \vec{AK}$

$\vec{OM} + \vec{MC} = \vec{OC}$

4. Подставим полученные результаты в выражение:

$\vec{AK} + \vec{OC} - \vec{OK}$

5. Снова заменим вычитание на сложение:

$\vec{AK} + \vec{OC} + \vec{KO}$

6. Переставим слагаемые и применим правило треугольника еще раз:

$(\vec{AK} + \vec{KO}) + \vec{OC} = \vec{AO} + \vec{OC}$

7. Окончательно получаем:

$\vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

б) Упростите выражение: $\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA}$

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Заменим вычитание на сложение противоположных векторов:

$\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA} = \vec{KM} + \vec{PA} + \vec{MP} + \vec{CE} + \vec{AC}$

2. Перегруппируем слагаемые, чтобы составить "цепочку" векторов по правилу треугольника:

$\vec{KM} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CE}$

3. Последовательно складываем векторы:

$(\vec{KM} + \vec{MP}) + \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{KP} + \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CE}$

$(\vec{KP} + \vec{PA}) + \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{KA} + \vec{AC} + \vec{CE}$

$(\vec{KA} + \vec{AC}) + \vec{CE} = \vec{KC} + \vec{CE}$

4. Последний шаг сложения:

$\vec{KC} + \vec{CE} = \vec{KE}$

Ответ: $\vec{KE}$

76 Даны точки K, M, P, O. Представьте вектор $\vec{KM}$ в виде алгебраической суммы векторов: а) $\vec{MO}, \vec{KP}, \vec{OP}$; б) $\vec{PM}, \vec{OK}, \vec{PO}$.

Решение.

а) Используя равенства $\vec{KM} = \vec{KP} + \vec{PO} + \quad$, $\vec{PO} = - \quad$, $\vec{OM} = - \quad$, получаем $\vec{KM} = \quad - \quad - \quad$

б) $\vec{KM} = \vec{KO} + \quad + \quad + \quad = - \quad - \quad + \quad$

Ответ.

а) $\vec{KM} = \quad$; б) $\vec{KM} = \quad$

а) Чтобы представить вектор $\vec{KM}$ в виде алгебраической суммы векторов $\vec{MO}$, $\vec{KP}$ и $\vec{OP}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило многоугольника). Для этого построим непрерывную цепочку векторов от начальной точки K до конечной точки M, используя промежуточные точки P и O:

$\vec{KM} = \vec{KP} + \vec{PO} + \vec{OM}$

Теперь необходимо выразить векторы в полученной сумме через те, что даны в условии ($\vec{MO}, \vec{KP}, \vec{OP}$). Вектор $\vec{KP}$ уже присутствует в выражении. Векторы $\vec{PO}$ и $\vec{OM}$ являются противоположными к векторам $\vec{OP}$ и $\vec{MO}$ соответственно, поэтому:

$\vec{PO} = -\vec{OP}$

$\vec{OM} = -\vec{MO}$

Подставим эти соотношения в исходное выражение для $\vec{KM}$:

$\vec{KM} = \vec{KP} + (-\vec{OP}) + (-\vec{MO}) = \vec{KP} - \vec{OP} - \vec{MO}$

Таким образом, заполняя пропуски в предложенном в задании решении, мы получаем:

Используя равенства $\vec{KM} = \vec{KP} + \vec{PO} + \vec{OM}$, $\vec{PO} = -\vec{OP}$, $\vec{OM} = -\vec{MO}$, получаем $\vec{KM} = \vec{KP} - \vec{OP} - \vec{MO}$.

Ответ: $\vec{KM} = \vec{KP} - \vec{OP} - \vec{MO}$

б) Чтобы представить вектор $\vec{KM}$ в виде алгебраической суммы векторов $\vec{PM}$, $\vec{OK}$ и $\vec{PO}$, также воспользуемся правилом многоугольника. Построим путь от точки K до точки M через точки O и P. Шаблон решения в задании подсказывает начать с вектора $\vec{KO}$:

$\vec{KM} = \vec{KO} + \vec{OP} + \vec{PM}$

Теперь выразим векторы в правой части равенства через заданные в условии ($\vec{PM}, \vec{OK}, \vec{PO}$). Вектор $\vec{PM}$ уже присутствует в выражении. Векторы $\vec{KO}$ и $\vec{OP}$ являются противоположными к векторам $\vec{OK}$ и $\vec{PO}$:

$\vec{KO} = -\vec{OK}$

$\vec{OP} = -\vec{PO}$

Подставим эти соотношения в выражение для $\vec{KM}$:

$\vec{KM} = (-\vec{OK}) + (-\vec{PO}) + \vec{PM}$

Перегруппировав слагаемые для удобства, получим окончательный вид:

$\vec{KM} = \vec{PM} - \vec{OK} - \vec{PO}$

Таким образом, заполняя пропуски в предложенном в задании решении, мы получаем:

$\vec{KM} = \vec{KO} + \vec{OP} + \vec{PM} = \vec{PM} - \vec{OK} - \vec{PO}$.

Ответ: $\vec{KM} = \vec{PM} - \vec{OK} - \vec{PO}$

77 Заполните пропуски:

Произведением ______ вектора $\vec{a}$ на ______ $k$ назы-вается ______ $\vec{b}$, такой, что $\vert \vec{b} \vert = \vert k \vert \cdot \vert \vec{a} \vert$, причём $\vec{b} \uparrow\uparrow$ ______ при $k \ge 0$ и $\vec{b}$ ______ $\vec{a}$ при $k < 0$.

Произведением нулевого ______ на ______ число считается ______ вектор.

Для заполнения пропусков в первом предложении необходимо использовать определение произведения ненулевого вектора на число. Согласно этому определению, результатом умножения ненулевого вектора $\vec{a}$ на число (скаляр) $k$ является новый вектор $\vec{b}$. Модуль (длина) этого вектора равен произведению модуля исходного вектора на модуль числа, то есть $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Направление вектора $\vec{b}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$ (векторы сонаправлены, $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$), если $k \ge 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$ (векторы противоположно направлены, $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$), если $k < 0$.

Ответ: Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется вектор $\vec{b}$, такой, что $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, причём $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$ при $k \ge 0$ и $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$ при $k < 0$.

Во втором предложении речь идет об умножении нулевого вектора. По определению, произведением нулевого вектора на любое число является нулевой вектор. Это следует из того, что модуль результирующего вектора всегда будет равен нулю: $|k| \cdot |\vec{0}| = |k| \cdot 0 = 0$, а единственным вектором с нулевым модулем является нулевой вектор.

Ответ: Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.