Страница 53 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

68 Точка O — середина диагонали $AC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка M — середина ребра $AA_1$.

1) Используя обозначенные на рисунке точки, нарисуйте векторы:

a) коллинеарные вектору $\vec{BD}$;

б) сонаправленные с вектором $\vec{BA}$;

в) противоположно направленные по отношению к вектору $\vec{OM}$;

г) равные вектору $\vec{CC_1}$.

2) Сколько векторов, равных вектору $\vec{C_1O}$, можно отложить от точки O?

Ответ. 1) а) _____, _____, _____; б) _____, _____, _____; в) _____, _____; г) _____, _____.

2) От точки O можно отложить только _____ вектору $\vec{C_1O}$.

1) а) Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Вектор $\vec{BD}$ является диагональю основания $ABCD$ параллелепипеда.
Вектор $\vec{DB}$ лежит на той же прямой, что и $\vec{BD}$, и направлен в противоположную сторону, поэтому он коллинеарен $\vec{BD}$.
Основание $A_1B_1C_1D_1$ параллельно основанию $ABCD$, поэтому диагональ $B_1D_1$ параллельна диагонали $BD$. Следовательно, вектор $\vec{B_1D_1}$ коллинеарен вектору $\vec{BD}$.
Аналогично, вектор $\vec{D_1B_1}$ также коллинеарен $\vec{BD}$.
Ответ: $\vec{B_1D_1}$, $\vec{DB}$, $\vec{D_1B_1}$.

1) б) Сонаправленными называются векторы, которые коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону. Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $BA$ и $CD$ параллельны и равны. Вектор $\vec{CD}$ имеет то же направление и ту же длину, что и $\vec{BA}$, поэтому $\vec{CD}$ сонаправлен с $\vec{BA}$.
Аналогично, в параллелограмме верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{C_1D_1}$ сонаправлен с $\vec{B_1A_1}$.
Так как грани параллельны, то $\vec{BA} \uparrow\uparrow \vec{B_1A_1} \uparrow\uparrow \vec{CD} \uparrow\uparrow \vec{C_1D_1}$.
Ответ: $\vec{CD}$, $\vec{C_1D_1}$, $\vec{B_1A_1}$.

1) в) Противоположно направленные векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Сначала определим направление вектора $\vec{OM}$.
Точка $O$ — середина диагонали $AC_1$, а точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Вектор $\vec{OM}$ можно выразить как разность векторов с общим началом, например, в точке $A$: $\vec{OM} = \vec{AM} - \vec{AO}$.
Так как $M$ — середина $AA_1$, то $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.
Так как $O$ — середина $AC_1$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC_1}$.
$\vec{AC_1}$ — диагональ параллелепипеда, и ее можно разложить по ребрам: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.
Тогда $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} - \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) = \frac{1}{2}\vec{AA_1} - \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.
По правилу параллелограмма, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Следовательно, $\vec{OM} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.
Это означает, что вектор $\vec{OM}$ направлен противоположно вектору $\vec{AC}$ (и сонаправлен с $\vec{CA}$).
Векторы, противоположно направленные вектору $\vec{OM}$, должны быть сонаправлены с вектором $\vec{AC}$. Примерами таких векторов являются сам вектор $\vec{AC}$ и равный ему вектор $\vec{A_1C_1}$.
Ответ: $\vec{AC}$, $\vec{A_1C_1}$.

1) г) Равными называются векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину. Вектор $\vec{CC_1}$ — это боковое ребро параллелепипеда. Все боковые ребра параллелепипеда ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) параллельны и равны по длине. Векторы, направленные так же, как $\vec{CC_1}$ (от нижнего основания к верхнему), будут ему равны.
Ответ: $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{DD_1}$.

2) От любой точки пространства можно отложить только один вектор, равный данному ненулевому вектору. Таким образом, от точки $O$ можно отложить только один вектор, равный $\vec{C_1O}$.
Найдем, что это за вектор. Пусть это вектор $\vec{OP}$. По условию $\vec{OP} = \vec{C_1O}$.
Точка $O$ является серединой диагонали $AC_1$. Это означает, что векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC_1}$ равны: $\vec{AO} = \vec{OC_1}$.
Вектор $\vec{C_1O}$ является противоположным вектору $\vec{OC_1}$, то есть $\vec{C_1O} = -\vec{OC_1}$.
Подставляя $\vec{OC_1} = \vec{AO}$, получаем: $\vec{C_1O} = -\vec{AO}$.
Вектор $-\vec{AO}$ равен вектору $\vec{OA}$.
Таким образом, $\vec{C_1O} = \vec{OA}$.
Следовательно, вектор, который можно отложить от точки $O$ и который равен вектору $\vec{C_1O}$, — это вектор $\vec{OA}$.
Ответ: От точки $O$ можно отложить только один вектор, равный вектору $\vec{C_1O}$, и это вектор $\vec{OA}$.

69 Измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 3 м, 4 м и 12 м. Найдите длину векторов: а) $\vec{AC_1}$; б) $\vec{C_1A}$; в) $\vec{A_1C}$.

Решение.

а) Длина вектора $\vec{AC_1}$

Длина вектора $\vec{AC_1}$ — это длина __________ $AC_1$. Отрезок $AC_1$ является __________ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, следовательно, $AC_1 = \sqrt{3^2 + \underline{\hspace{1em}} + \underline{\hspace{1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1em}}} = \underline{\hspace{1em}}$ (см), т. е. $|\vec{AC_1}| = \underline{\hspace{1em}}$ см.

б) Вектор $\vec{C_1A}$

Вектор $\vec{C_1A}$ является __________ вектору $\vec{AC_1}$, следовательно, их __________ равны, т. е. $|\vec{C_1A}| = |\underline{\hspace{1em}}| = \underline{\hspace{1em}}$ (см).

в) Длина вектора $\vec{A_1C}$

Длина вектора $\vec{A_1C}$ равна __________ диагонали $A_1C$. Диагонали прямоугольного __________ равны, значит, $|\vec{A_1C}| = \underline{\hspace{1em}}$ см.

Ответ. а) $|\vec{AC_1}| = \underline{\hspace{1em}}$ см; б) $|\vec{C_1A}| = \underline{\hspace{1em}}$ см; в) $|\vec{A_1C}| = \underline{\hspace{1em}}$ см.

а) Длина вектора $\vec{AC_1}$ — это длина пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Квадрат длины пространственной диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты).
Пусть измерения параллелепипеда равны $a=3$ м, $b=4$ м, $c=12$ м.
Тогда длина вектора (модуль вектора) $|\vec{AC_1}|$ вычисляется по формуле:
$|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ м.
Ответ: 13.

б) Вектор $\vec{C_1A}$ является противоположным вектору $\vec{AC_1}$. Это означает, что он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Длины (модули) противоположных векторов равны.
Следовательно, $|\vec{C_1A}| = |\vec{AC_1}| = 13$ м.
Ответ: 13.

в) Длина вектора $\vec{A_1C}$ равна длине пространственной диагонали $A_1C$. В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали ($AC_1$, $BD_1$, $A_1C$, $B_1D$) равны между собой.
Следовательно, длина диагонали $A_1C$ равна длине диагонали $AC_1$.
$|\vec{A_1C}| = |\vec{AC_1}| = 13$ м.
Ответ: 13.