Страница 48 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

62 В усечённом конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего основания угол в 60° и равна 4 см. Найдите объём усечённого конуса.

Решение.

Пусть точки $O$ и $O_1$ — центры оснований данного усечённого конуса, $ABCD$ — осевое сечение, $M$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда $\angle DAB$ — это угол, который составляет образующая $AD$ конуса с плоскостью большего основания, т. е. $\angle DAB = \underline{\hspace{2em}}$, $AO = r$ и $DO_1 = r_1$ — радиусы оснований усечённого конуса. Поскольку $\angle AMB = \underline{\hspace{2em}}$, то $\angle MAB = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$. Поэтому в треугольнике $ADC$ имеем $AD = 4$ см, $\angle ACD = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$, $\angle DAC = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$. По теореме $\underline{\hspace{2em}}$: $\frac{AD}{\sin \angle DCA} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$, откуда получаем: $CD = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см), а $r_1 = \frac{1}{2} \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см).

В треугольнике $ABC$ $BC = \underline{\hspace{2em}}$ см, $\angle A = \underline{\hspace{2em}}$, $\angle B = \underline{\hspace{2em}}$,
а $\angle C = 180^\circ - \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$. По $\underline{\hspace{2em}}$ $\frac{AB}{\sin 75^\circ} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$,
откуда находим: $AB = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$, а $r = \frac{1}{2} \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$.

Проведём высоту $DK$ трапеции, она является высотой $\underline{\hspace{2em}}$ треугольника $ADK$. Из $\underline{\hspace{2em}}$ находим: $DK = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см), т. е. высота $h$ усечённого конуса равна $\underline{\hspace{2em}}$.

Объём усечённого конуса $V = \frac{1}{3}h \cdot (S + S_1 + \underline{\hspace{2em}})$, где $S$ и $S_1$ — площади оснований. Итак, $V = \underline{\hspace{2em}} = (\pi r^2 + \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}) = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см³).

Ответ. $\underline{\hspace{2em}}$ см³.

Пусть точки O и O₁ — центры оснований данного усечённого конуса, равнобокая трапеция ABCD — осевое сечение, M — точка пересечения его диагоналей. Тогда $\angle DAB$ — это угол, который составляет образующая AD конуса с плоскостью большего основания, т. е. $\angle DAB = 60^\circ$, $AO = r$ и $DO_1 = r_1$ — радиусы оснований усечённого конуса. Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, то $\angle AMB = 90^\circ$. В равнобокой трапеции треугольник AMB является равнобедренным и прямоугольным, поэтому $\angle MAB = \angle MBA = 45^\circ$. Аналогично, треугольник CMD является равнобедренным и прямоугольным, поэтому $\angle MCD = 45^\circ$. В треугольнике ADC имеем $AD = 4$ см, $\angle ACD = 45^\circ$ и $\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$. По теореме синусов: $\frac{CD}{\sin\angle DAC} = \frac{AD}{\sin\angle ACD}$, откуда получаем: $CD = \frac{AD \cdot \sin\angle DAC}{\sin\angle ACD} = \frac{4 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}{\sqrt{2}/2} = 2(\sqrt{3}-1)$ (см), а радиус меньшего основания $r_1 = \frac{1}{2}CD = \sqrt{3}-1$ (см).

В треугольнике ABC имеем $BC = AD = 4$ см, $\angle CAB = 45^\circ$, $\angle CBA = 60^\circ$. Тогда $\angle BCA = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin\angle BCA} = \frac{BC}{\sin\angle CAB}$, откуда находим: $AB = \frac{BC \cdot \sin\angle BCA}{\sin\angle CAB} = \frac{4 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}{\sqrt{2}/2} = 2(\sqrt{3}+1)$ (см), а радиус большего основания $r = \frac{1}{2}AB = \sqrt{3}+1$ (см).

Проведём высоту DK трапеции, она является высотой $h$ усечённого конуса. Из прямоугольного треугольника ADK находим: $h = DK = AD \cdot \sin\angle DAK = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ (см).

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi h(r^2 + r_1^2 + rr_1)$.Подставим найденные значения:$r^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4+2\sqrt{3}$.$r_1^2 = (\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4-2\sqrt{3}$.$rr_1 = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 - 1 = 2$.Сумма $r^2 + r_1^2 + rr_1 = (4+2\sqrt{3}) + (4-2\sqrt{3}) + 2 = 10$.Итак, $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 10 = \frac{20\sqrt{3}\pi}{3}$ (см³).

Ответ: $\frac{20\sqrt{3}\pi}{3}$ см³.