Страница 60 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

82 Векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, $\vec{c} \neq \vec{0}$.

Докажите, что коллинеарны векторы $\vec{a} - 2\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Доказательство.

По условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, причём $\vec{c} \neq \vec{0}$, поэтому найдётся число $k$, такое, что $\vec{a} = k\vec{c}$ (см. задание 81). Аналогично найдётся число $m$, такое, что $\vec{b} = m\vec{c}$.

Поэтому $\vec{a} - 2\vec{b} = k\vec{c} - 2(m\vec{c}) = k\vec{c} - (2m)\vec{c} = (k - 2m)\vec{c}$,

т. е. вектор $\vec{a} - 2\vec{b}$ равен произведению вектора $\vec{c}$ на число $k - 2m$.

Следовательно, по определению коллинеарности вектора на число эти векторы коллинеарны, что и требовалось доказать.

Доказательство. По условию задачи векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$ коллинеарны, причём $\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{0}$, поэтому найдётся число $k$, такое, что $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{c}$ (см. задание 81). Аналогично найдётся число $m$, такое, что $\overrightarrow{b} = m\overrightarrow{c}$.

Поэтому $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{c} - 2(m\overrightarrow{c}) = k\overrightarrow{c} - (2m)\overrightarrow{c} = (k - 2m)\overrightarrow{c}$,

т. е. вектор $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ равен произведению вектора $\overrightarrow{c}$ на число $k - 2m$.

Следовательно, по определению коллинеарных векторов эти векторы коллинеарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Векторы $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ коллинеарны.

83 Докажите следующее утверждение:

Если точка M — середина отрезка AB и точка O — произвольная

точка пространства, то $ \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) $.

Доказательство.

Так как точка M — __________ отрезка AB,

то векторы $ \vec{AM} $ и $ \vec{BM} $ __________,

т. е. $ \vec{AM} = \text{__________} $, и, значит, $ \vec{AM} + \vec{BM} = \text{__________} $.

Для точек A, M и произвольной точки O по правилу треугольника

получаем $ \vec{OM} = \vec{OA} + \text{__________} $, (1)

а для точек B, M и O получаем $ \vec{OM} = \text{__________} + \vec{BM} $. (2)

Сложим равенства (1) и (2):

$ \vec{OM} + \text{__________} = \vec{OA} + \text{__________} + \vec{OB} + \text{__________} $.

Отсюда следует: $ 2\vec{OM} = \vec{OA} + \text{__________} + \vec{AM} + \vec{BM} = \text{__________} + \vec{OB} + \vec{0} $.

Итак, $ 2\vec{OM} = \text{__________} + \text{__________} $, поэтому

$ \vec{OM} = \text{__________} $, что и требовалось доказать.

Доказательство. Так как точка $M$ — середина отрезка $AB$, то векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{MB}$ равны ($\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$). Так как $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BM}$, то $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM}$.

т. е. $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM}$, и, значит, $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}$.

Для точек $A$, $M$ и произвольной точки $O$ по правилу треугольника получаем$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}$, (1)

а для точек $B$, $M$ и $O$ получаем$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}$. (2)

Сложим равенства (1) и (2):$\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}$.

Отсюда следует: $2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{0}$. Итак, $2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$, поэтому$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для произвольной точки $O$ и середины $M$ отрезка $AB$ выполняется равенство $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.