Номер 82, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 82, страница 60.

82 Векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, $\vec{c} \neq \vec{0}$.

Докажите, что коллинеарны векторы $\vec{a} - 2\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Доказательство.

По условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, причём $\vec{c} \neq \vec{0}$, поэтому найдётся число $k$, такое, что $\vec{a} = k\vec{c}$ (см. задание 81). Аналогично найдётся число $m$, такое, что $\vec{b} = m\vec{c}$.

Поэтому $\vec{a} - 2\vec{b} = k\vec{c} - 2(m\vec{c}) = k\vec{c} - (2m)\vec{c} = (k - 2m)\vec{c}$,

т. е. вектор $\vec{a} - 2\vec{b}$ равен произведению вектора $\vec{c}$ на число $k - 2m$.

Следовательно, по определению коллинеарности вектора на число эти векторы коллинеарны, что и требовалось доказать.

Доказательство. По условию задачи векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$ коллинеарны, причём $\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{0}$, поэтому найдётся число $k$, такое, что $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{c}$ (см. задание 81). Аналогично найдётся число $m$, такое, что $\overrightarrow{b} = m\overrightarrow{c}$.

Поэтому $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{c} - 2(m\overrightarrow{c}) = k\overrightarrow{c} - (2m)\overrightarrow{c} = (k - 2m)\overrightarrow{c}$,

т. е. вектор $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ равен произведению вектора $\overrightarrow{c}$ на число $k - 2m$.

Следовательно, по определению коллинеарных векторов эти векторы коллинеарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Векторы $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ коллинеарны.