Номер 85, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 85, страница 61.

85 Дано: $\vec{AM} = k\vec{MB} (k \neq -1).$

Докажите, что:

a) точки A, B и M лежат на одной прямой;

b) для любой точки X пространства верно равенство $\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + k\vec{XB}}{1+k}$ (задача 586 учебника).

Доказательство.

a) Так как $\vec{AM} = k\vec{MB}$, то векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны

(по определению коллинеарности вектора на число). Следовательно,

прямые $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ либо параллельны, либо совпадают. Поскольку

эти прямые имеют общую точку M, то они совпадают,

следовательно, точки A, B и M лежат на одной прямой.

b) Возьмём произвольную точку X пространства и представим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ в виде разности векторов с началом в точке X:

$\vec{AM} = \vec{XM} - \vec{XA}$, $\vec{MB} = \vec{XB} - \vec{XM}$.

Подставим в исходное равенство полученные выражения:

$\vec{XM} - \vec{XA} = k(\vec{XB} - \vec{XM})$, или $\vec{XM} - \vec{XA} = k\vec{XB} - k\vec{XM}$.

После переноса слагаемых $\vec{XA}$ и $k\vec{XM}$ из одной части равенства в

другую получим $\vec{XM} + k\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$, или $(1 + k)\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$.

По условию задачи $k \neq -1$, следовательно, $1 + k \neq 0$. Поэтому обе

части уравнения можно умножить на число $\frac{1}{1+k}$.

Получим $\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + \vec{XB}}{1+k}$, что и требовалось доказать.

а)

Дано векторное равенство $\vec{AM} = k \vec{MB}$. По определению умножения вектора на число, это означает, что векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны. Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Следовательно, прямые AM и MB, на которых лежат эти векторы, либо совпадают, либо параллельны. Поскольку эти прямые имеют общую точку M, они не могут быть параллельными, а значит, они совпадают. Таким образом, точки A, B и M лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, B и M лежат на одной прямой.

б)

Возьмём произвольную точку X пространства. Любой вектор можно представить как разность векторов, отложенных от одной точки. Выразим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ через векторы с началом в точке X:
$\vec{AM} = \vec{XM} - \vec{XA}$
$\vec{MB} = \vec{XB} - \vec{XM}$
Подставим эти выражения в исходное равенство $\vec{AM} = k \vec{MB}$:
$\vec{XM} - \vec{XA} = k(\vec{XB} - \vec{XM})$
Раскроем скобки в правой части равенства:
$\vec{XM} - \vec{XA} = k\vec{XB} - k\vec{XM}$
Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие вектор $\vec{XM}$, в левой части уравнения, а остальные слагаемые — в правой:
$\vec{XM} + k\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$
Вынесем вектор $\vec{XM}$ за скобки в левой части:
$(1 + k)\vec{XM} = \vec{XA} + k\vec{XB}$
По условию задачи $k \neq -1$, следовательно, выражение $(1+k)$ не равно нулю. Значит, мы можем разделить обе части равенства на $(1+k)$:
$\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + k\vec{XB}}{1+k}$
Это и есть искомое равенство.

Ответ: Доказано, что для любой точки X пространства верно равенство $\vec{XM} = \frac{\vec{XA} + k\vec{XB}}{1+k}$.