Номер 81, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 81, страница 59.

81 Докажите, что если векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ коллинеарны и $ \vec{a} \neq \vec{0} $, то существует такое число $ k $, что $ \vec{b} = k\vec{a} $.

Доказательство. Возможны два случая: 1) $ \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} $ и 2) $ \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} $. В обоих случаях векторы лежат на одной прямой или на _______ прямых, т. е. лежат в одной плоскости.

1) Пусть $ \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} $. Возьмём число $ k = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} $. Тогда $ |\vec{ka}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}| $. Так как $ k > 0 $, то $ \vec{ka} \uparrow\uparrow \vec{a} $. Следовательно, $ \vec{b} = k\vec{a} $.

Итак, для первого случая утверждение доказано.

2) Пусть $ \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} $. Возьмём число $ k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} $. Тогда $ |\vec{ka}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \left| \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \right| \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}| $. Так как $ k < 0 $, то $ \vec{ka} \downarrow\uparrow \vec{a} $, и поэтому $ \vec{ka} \uparrow\uparrow \vec{b} $.

Итак, $ |\vec{b}| = |\vec{ka}| $ и $ \vec{b} \uparrow\uparrow \vec{ka} $, следовательно, $ \vec{b} = k\vec{a} $, что и требовалось доказать.

Доказательство. Возможны два случая: 1) $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ и 2) $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. В обоих случаях векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, т. е. лежат в одной плоскости.

1)

Пусть $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Возьмём число $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Тогда $|k\vec{a}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как $k > 0$ (если $\vec{b} \ne \vec{0}$), то $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$. Поскольку $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то и $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Следовательно, векторы $\vec{b}$ и $k\vec{a}$ равны по модулю и сонаправлены, значит $\vec{b} = k\vec{a}$.

Ответ: для первого случая утверждение доказано.

2)

Пусть $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. Возьмём число $k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Тогда $|k\vec{a}| = |k|\cdot|\vec{a}| = \left|-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\right|\cdot|\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как $k < 0$, то вектор $k\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, то есть $k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$. Поскольку по условию $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$, то из $k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$ следует, что $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Ответ: Итак, $|\vec{b}| = |k\vec{a}|$ и $\vec{b} \uparrow\uparrow k\vec{a}$, следовательно, $\vec{b} = k\vec{a}$, что и требовалось доказать.