Страница 62 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

86 Докажите, что компланарны:

а) любые два вектора;

б) любые три вектора, два из которых коллинеарны.

Доказательство.

а) Векторы называются компланарными, если при их от одной и той же ______ они будут лежать в плоскости. Рассмотрим два произвольных вектора $\vec{AB}$ и $\vec{OM}$. От любой точки пространства ______ отложить вектор, равный данному ______ . Отложим от точки A вектор $\vec{AH}$ равный ______ $\vec{OM}$ (выполните построение). Через любые три точки проходит ______, следовательно, векторы $\vec{AH}$ и ______ лежат в одной ______, поэтому векторы $\vec{OM}$ и $\vec{AB}$ ______, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим векторы $\vec{AB}$, $\vec{CE}$ и $\vec{OM}$, два из которых, например $\vec{AB}$ и $\vec{CE}$, коллинеарны. Отложим от точки A вектор $\vec{AH}$, равный ______ $\vec{OM}$, и вектор $\vec{AK}$, равный вектору ______ (выполните построение). Так как $\vec{AK} \parallel \vec{AB}$, то точка K ______ на прямой $\vec{AB}$. Через прямую $\vec{AB}$ и точку H проходит ______ . Векторы $\vec{AB}$, $\vec{AK}$ и $\vec{AM}$ ______ в этой плоскости. Следовательно, данные векторы $\vec{AB}$, ______ и $\vec{OM}$ ______, что и требовалось доказать.

а) Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Рассмотрим два произвольных вектора $ \vec{AB} $ и $ \vec{OM} $. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному. Отложим от точки А вектор $ \vec{AH} $, равный вектору $ \vec{OM} $.

(выполните построение)

Через любые три точки (в данном случае А, В и Н) проходит плоскость, следовательно, векторы $ \vec{AH} $ и $ \vec{AB} $ лежат в одной плоскости, поэтому векторы $ \vec{OM} $ (так как $ \vec{OM} = \vec{AH} $) и $ \vec{AB} $ компланарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Любые два вектора всегда компланарны, так как, отложив их от одной точки, мы получим три точки (начало и два конца векторов), которые всегда определяют единственную плоскость (или лежат на одной прямой, которая также может быть частью любой плоскости).

б) Рассмотрим векторы $ \vec{AB} $, $ \vec{CE} $ и $ \vec{OM} $, два из которых, например $ \vec{AB} $ и $ \vec{CE} $, коллинеарны. Отложим от точки А вектор $ \vec{AH} $, равный вектору $ \vec{OM} $, и вектор $ \vec{AK} $, равный вектору $ \vec{CE} $.

(выполните построение)

Так как $ \vec{AB} $ и $ \vec{CE} $ коллинеарны, а $ \vec{AK} = \vec{CE} $, то вектор $ \vec{AK} $ коллинеарен вектору $ \vec{AB} $. Поскольку они отложены от одной точки А, то точка К лежит на прямой АВ. Через прямую АВ и точку Н (которая, в общем случае, не лежит на этой прямой) проходит плоскость. Векторы $ \vec{AB} $, $ \vec{AK} $ и $ \vec{AH} $ (в тексте, вероятно, опечатка - указан $ \vec{AM} $) лежат в этой плоскости. Следовательно, данные векторы $ \vec{AB} $, $ \vec{CE} $ и $ \vec{OM} $ компланарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Три вектора, два из которых коллинеарны, всегда компланарны. Коллинеарные векторы, отложенные от одной точки, лежат на одной прямой. Эта прямая и третий вектор (отложенный от той же точки) определяют единственную плоскость.