Страница 58 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

78 Докажите, что для любого вектора $\vec{a}$ справедливы равенства:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$;

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Доказательство.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то обе части каждого равенства — нулевые , поэтому равенства справедливы. Пусть $\vec{a} \neq \vec{0}$.

а) По определению произведения вектора на

$|1 \cdot \vec{a}| = |1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$, а так как $1 > 0$, то векторы $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ . Следовательно, по определению

равных векторов $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

б) По определению

вектора на число

$|(-1) \cdot \vec{a}| = |-1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$, а так как $-1 < 0$, то $(-1) \cdot \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{a}$.

Следовательно, векторы $(-1) \cdot \vec{a}$ и противоположны, т. е.

$(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Доказательство справедливо для любого вектора $\vec{a}$.

Сначала рассмотрим случай, когда $\vec{a}$ является нулевым вектором, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае:

• для равенства а) имеем $1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$, что совпадает с правой частью $\vec{a} = \vec{0}$.
• для равенства б) имеем $(-1) \cdot \vec{0} = \vec{0}$, а правая часть $-\vec{a} = -\vec{0} = \vec{0}$.

Таким образом, если $\vec{a} = \vec{0}$, оба равенства верны, так как обе их части равны нулевому вектору.

Теперь рассмотрим случай, когда $\vec{a} \neq \vec{0}$.

а) Докажем равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

По определению произведения вектора на число, модуль (длина) вектора $k \cdot \vec{a}$ равен $|k| \cdot |\vec{a}|$, а его направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$.

Для вектора $1 \cdot \vec{a}$ имеем:

1. Модуль вектора: $|1 \cdot \vec{a}| = |1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длины векторов $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ равны.
2. Направление вектора: так как коэффициент $1 > 0$, то вектор $1 \cdot \vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$.

Поскольку векторы $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ имеют одинаковые модули и одинаковое направление, они равны по определению равенства векторов. Следовательно, $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Ответ: Равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б) Докажем равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Аналогично пункту а), воспользуемся определением произведения вектора на число.

Для вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ имеем:

1. Модуль вектора: $|(-1) \cdot \vec{a}| = |-1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длины векторов $(-1) \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ равны.
2. Направление вектора: так как коэффициент $-1 < 0$, то вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Вектор, имеющий тот же модуль, что и вектор $\vec{a}$, но противоположное направление, называется противоположным вектором и обозначается как $-\vec{a}$.

Вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ имеет тот же модуль, что и $\vec{a}$, и направлен в противоположную сторону. Следовательно, он является вектором, противоположным вектору $\vec{a}$. Таким образом, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Ответ: Равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.

Дана треугольная пирамида MABC,

$\vec{MA} = \vec{a}$, $\vec{MB} = \vec{b}$, $\vec{MC} = \vec{c}$.

a) Отложите от точки M вектор:

$\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b}$; $\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{c}$; $\vec{z} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$;

$\vec{m} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$.

б) Отложите от точки A вектор

$\vec{n} = -\frac{2}{3}\vec{m}$.

Решение.

a) Так как $\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b}$, то по определению произведения вектора на ______.

$\vec{x} \uparrow\uparrow$ ______ и $|\vec{x}| = ______ |\vec{b}|$. Отметим середину ребра MB — точку E,

тогда $\vec{ME} = \underline{\hspace{2em}} \vec{b} = \vec{x}$. Аналогично отметим точку H — _______

ребра MC, тогда $\vec{MH} = \underline{\hspace{2em}} \vec{c} = \underline{\hspace{2em}}$.

Так как $\vec{z} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$, $ \vec{z} = \vec{ME} + \underline{\hspace{2em}}$. Построим вектор $\vec{z}$ по

______ параллелограмма. Для этого через точку E проведём

_______, параллельную прямой MC, а через точку H — прямую,

______ прямой _______. По теореме ________ эти

прямые пересекут отрезок BC в его _______. Обозначим эту точку

буквой K. Тогда $\vec{z} = \underline{\hspace{2em}}$.

$\vec{m} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} - (\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c})$ — первый ______

_______ закон. Но $\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{z} = \vec{MK}$, а _______, следовательно,

$\vec{m} = \underline{\hspace{2em}} - \underline{\hspace{2em}}$, т. е. $\vec{MA} = \underline{\hspace{2em}} + \vec{m}$. Поэтому $\vec{m} = \underline{\hspace{2em}}$.

б) Так как $\vec{n} = -\frac{2}{3}\vec{m}$ и $-\frac{2}{3} < 0$, то $\vec{n} \underline{\hspace{2em}} \vec{m}$ и $|\vec{n}| = \underline{\hspace{2em}} |\vec{m}|$.

Отложим от точки A вектор $\vec{n}$. Для этого на отрезке AK нужно отметить точку O так, чтобы $\vec{AO} = \underline{\hspace{2em}} \vec{AK}$. Тогда $\vec{AO} = \underline{\hspace{2em}} \vec{AK} = \underline{\hspace{2em}}$

$ = \underline{\hspace{2em}} \vec{m} = \vec{n}$.

а) Так как $\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b}$, то по определению произведения вектора на число, $\vec{x} \uparrow\uparrow$ $\vec{b}$ и $|\vec{x}| = $ $\frac{1}{2}$ $|\vec{b}|$. Отметим середину ребра MB — точку E, тогда $\vec{ME} = $ $\frac{1}{2}\vec{MB} = \frac{1}{2}$ $\vec{b} = \vec{x}$. Аналогично отметим точку H — середину ребра MC, тогда $\vec{MH} = $ $\frac{1}{2}\vec{MC} = \frac{1}{2}$ $\vec{c} = \vec{y}$.
Так как $\vec{z} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$, $\vec{z} = \vec{ME} + $ $\vec{MH}$. Построим вектор $\vec{z}$ по правилу параллелограмма. Для этого через точку E проведём прямую, параллельную прямой MC, а через точку H — прямую, параллельную прямой MB. По теореме Фалеса эти прямые пересекут отрезок BC в его середине. Обозначим эту точку буквой K. Тогда $\vec{z} = $ $\vec{MK}$.
$\vec{m} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} - (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})$ — первый вычитания векторов закон. Но $\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{z} = \vec{MK}$, а $\vec{a} = \vec{MA}$, следовательно, $\vec{m} = $ $\vec{MA}$ - $\vec{MK}$, т. е. $\vec{MA} = $ $\vec{MK}$ + $\vec{m}$. Поэтому $\vec{m} = $ $\vec{KA}$.

Ответ: Вектор $\vec{x}$ откладывается от точки M и является вектором $\vec{ME}$, где E — середина ребра MB. Вектор $\vec{y}$ — это вектор $\vec{MH}$, где H — середина ребра MC. Вектор $\vec{z}$ — это вектор $\vec{MK}$, где K — середина стороны BC. Вектор $\vec{m}$ — это вектор $\vec{KA}$, где K — середина стороны BC.

б) Так как $\vec{n} = -\frac{2}{3}\vec{m}$ и $-\frac{2}{3} < 0$, то вектор $\vec{n}$ противоположно направлен вектору $\vec{m}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{m}$. Отложим от точки А вектор $\vec{n}$. Для этого на отрезке АК нужно отметить точку О так, чтобы $AO = $ $\frac{2}{3}$ $AK$. Тогда $\vec{AO} = $ $\frac{2}{3}$ $\vec{AK} = $ $-\frac{2}{3}$ $\vec{m} = \vec{n}$.

Ответ: Вектор $\vec{n}$ откладывается от точки A и является вектором $\vec{AO}$, где точка O лежит на отрезке AK (K — середина BC) и делит его так, что $AO : OK = 2:1$.