Страница 56 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

73 Какие векторы с концом и на- чалом в вершинах параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

а) противоположны вектору $\vec{AC}$;

б) равны вектору $-\vec{CD_1}$;

в) равны разности $\vec{AA_1} - \vec{AC}$;

г) равны сумме $\vec{BA} + (-\vec{CD_1})$;

д) равны вектору $-\vec{CD_1} - \vec{AC}$?

Решение.

а) Два ненулевых ________ называются противоположными, если их длины ________ и они ________ направлены.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $\vec{AC} = \text{_______}$. Противоположно на- правлены по отношению к лучу $AC$ лучи ________ и ________.

Следовательно, вектору $\vec{AC}$ противоположны векторы ________ и ________.

б) Запись $-\vec{CD_1}$ означает вектор, ________ вектору $\vec{CD_1}$. Равными этому вектору являются векторы ________ и ________.

в) Разность векторов $\vec{AA_1} - \vec{AC}$ можно найти двумя способами:

1) по определению разности двух ________.

2) используя формулу $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (\text{_______})$.

1) По определению разностью век- торов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC}$ является такой $\vec{x}$, сумма которого с вектором ________ рав- на вектору ________, т. е. $\vec{AC} + \text{_______} = \text{_______}$.

Значит, искомый вектор $\vec{x}$ — это век- тор ________, т. е. $\vec{AA_1} - \vec{AC} = \text{_______}$.

2) Используя формулу $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (\text{_______})$, получаем $\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{AA_1} + (\text{_______})$. Но вектор $-\vec{AC}$ — это вектор, ________ вектору ________, т. е. вектор ________.

Поэтому $\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{AA_1} + \text{_______} = \vec{CA} + \text{_______} = \text{_______}$.

г) Как установлено в п. «б», $-\vec{CD_1} = \text{_______}$ и также $-\vec{CD_1} = \text{_______}$.

Следовательно, $\vec{BA} + (-\vec{CD_1}) = \vec{BA} + \text{_______} = \text{_______}$ (по треугольника).

Этому вектору равны векторы $\vec{B_1B}$ ________ и ________.

д) Используя результаты п. «а» и «б», получаем $-\vec{CD_1} - \vec{AC} = \text{_______} + (\text{_______}) = \text{_______} + \text{_______} = \text{_______}$. Этот вектор равен вектору ________.

Ответ. а) ________; б) ________; в) ________; г) ________; д) ________.

а) Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ длина диагонали $AC$ равна длине диагонали $A_1C_1$. Противоположно направлены по отношению к лучу $AC$ лучи $CA$ и $C_1A_1$.
Следовательно, вектору $\vec{AC}$ противоположны векторы $\vec{CA}$ и $\vec{C_1A_1}$.

Ответ: $\vec{CA}$, $\vec{C_1A_1}$.

б) Запись $-\vec{CD_1}$ означает вектор, противоположный вектору $\vec{CD_1}$. Равными этому вектору являются векторы $\vec{D_1C}$ и $\vec{A_1B}$.

Ответ: $\vec{D_1C}$, $\vec{A_1B}$.

в) Разность векторов $\vec{AA_1} - \vec{AC}$ можно найти двумя способами:
1) по определению разности двух векторов;
2) используя формулу $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
1) По определению разностью векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC}$ является такой вектор $\vec{x}$, сумма которого с вектором $\vec{AC}$ равна вектору $\vec{AA_1}$, т. е. $\vec{AC} + \vec{x} = \vec{AA_1}$.
Значит, искомый вектор $\vec{x}$ — это вектор $\vec{CA_1}$, т. е. $\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{CA_1}$.
2) Используя формулу $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, получаем $\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{AA_1} + (-\vec{AC})$. Но вектор $-\vec{AC}$ — это вектор $\vec{CA}$. Поэтому $\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{AA_1} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AA_1} = \vec{CA_1}$.

Ответ: $\vec{CA_1}$.

г) Как установлено в п. «б», $-\vec{CD_1} = \vec{D_1C}$ и также $-\vec{CD_1} = \vec{A_1B}$.
Следовательно, $\vec{BA} + (-\vec{CD_1}) = \vec{BA} + \vec{A_1B} = \vec{A_1A}$ (по правилу треугольника). Этому вектору равны векторы $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{D_1D}$.

Ответ: $\vec{A_1A}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$, $\vec{D_1D}$.

д) Используя результаты п. «а» и «б», получаем $-\vec{CD_1} - \vec{AC} = \vec{D_1C} + (-\vec{AC}) = \vec{D_1C} + \vec{CA} = \vec{D_1A}$. Этот вектор равен вектору $\vec{C_1B}$.

Ответ: $\vec{D_1A}$, $\vec{C_1B}$.