Номер 28, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 28, страница 21.

28 Все стороны треугольника ABC касаются сферы с центром O. Найдите радиус сферы, если расстояние от её центра до плоскости ABC равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ см, $ AB = 3 $ см, $ BC = 5 $ см, $ AC = 7 $ см.

Решение.

Пусть $M, N$ и $P$ — точки касания сферы со сторонами треугольника ABC, $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из центра сферы к плоскости ABC. Сечением сферы плоскостью ABC является окружность с центром $O_1$, вписанная в ___________. Найдём радиус этой окружности. С одной стороны, $S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)}$ __________ = __________ $(см^2)$.

С другой стороны, $S_{ABC} = p \cdot r$, где $p$ __________ , а $r$ __________ . Поэтому $ \frac{15\sqrt{3}}{4} $ = __________ ,

откуда $r$ = __________ см.

Так как $OO_1 \perp ABC$, то треугольник $OO_1M$ __________ . $(\angle O_1 = 90^\circ, OO_1$ = __________ см, $O_1M$ = __________ см), поэтому $R = OM$ = __________ = __________ (см).

Ответ.

__________ см.

Для нахождения радиуса сферы $R$ необходимо последовательно выполнить три шага. Сначала найти площадь треугольника ABC, затем радиус вписанной в него окружности $r$, и в конце, используя теорему Пифагора, найти искомый радиус сферы.

1. Нахождение площади треугольника ABC

Используем формулу Герона, так как известны длины всех сторон треугольника: $AB=3$ см, $BC=5$ см, $AC=7$ см.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$ см.

Теперь найдем площадь $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)}$

$S_{ABC} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{\sqrt{225 \cdot 3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см².

Ответ: Площадь треугольника $S_{ABC} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Нахождение радиуса вписанной окружности (r)

Сечение сферы плоскостью ABC — это окружность, вписанная в треугольник ABC. Её радиус $r$ связан с площадью и полупериметром по формуле $S_{ABC} = p \cdot r$.

Выразим $r$ из этой формулы:

$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{15\sqrt{3}/4}{15/2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Нахождение радиуса сферы (R)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1M$, где O — центр сферы, $O_1$ — центр вписанной окружности (проекция O на плоскость ABC), M — точка касания. Катетами этого треугольника являются расстояние от центра сферы до плоскости $OO_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см (по условию) и радиус вписанной окружности $O_1M = r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Гипотенуза $OM$ является искомым радиусом сферы $R$.

По теореме Пифагора $R^2 = OO_1^2 + O_1M^2$:

$R^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.