Номер 24, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 24, страница 18.

24 Шар радиуса 17 см пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения.

Решение.

Пусть точка $O$ — центр шара радиуса $R = 17$ см, $\alpha$ — секущая плоскость и $OO_1 \perp \alpha$. По условию задачи расстояние $OO_1$ от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара, поэтому сечением шара плоскостью $\alpha$ является ________, площадь которого $S = \text{___} r^2$, где ____ — радиус сечения.

Возьмём точку $M$ на линии пересечения сферы и плоскости $\alpha$, тогда треугольник $OO_1M$ ______.

($\angle O_1 = \text{______}, OM = R = \text{______}, OO_1 = \text{______}$ см), откуда находим:

$O_1M = r = \text{______}, S_{\text{сеч}} = \text{______}$

Ответ.

______ см².

Решение.

По условию задачи, шар с центром в точке $O$ и радиусом $R = 17$ см пересечен плоскостью $α$. Расстояние от центра шара до плоскости составляет $d = 8$ см. Сечением шара плоскостью является круг. Пусть $O_1$ — центр этого круга, а $r$ — его радиус. Расстояние от центра шара до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $α$, то есть $OO_1 = d = 8$ см.

Возьмем любую точку $M$, лежащую на окружности сечения (линии пересечения сферы и плоскости). Отрезок $OM$ соединяет центр шара с точкой на его поверхности, следовательно, является радиусом шара, и $OM = R = 17$ см. Отрезок $O_1M$ является радиусом круга в сечении, то есть $O_1M = r$.

Рассмотрим треугольник $OO_1M$. Так как отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $α$, а отрезок $O_1M$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $O_1$, то $OO_1 \perp O_1M$. Следовательно, треугольник $OO_1M$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O_1$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $OO_1M$, в котором $OM$ — гипотенуза, а $OO_1$ и $O_1M$ — катеты:
$OM^2 = OO_1^2 + O_1M^2$
Подставим известные значения в формулу:
$17^2 = 8^2 + r^2$
$289 = 64 + r^2$
Найдем квадрат радиуса сечения:
$r^2 = 289 - 64 = 225$
Сам радиус сечения равен:
$r = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ — это площадь круга радиусом $r$. Она вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \pi r^2$
Подставляя найденное значение $r^2 = 225$, получаем:
$S_{сеч} = 225\pi$ см$^2$.

Ответ: $225\pi$ см$^2$.