Номер 27, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 27, страница 20.

27 Точки M, N и P лежат на сфере радиуса $ \frac{3}{\sqrt{2}} $, MN = MP = 3, $ \angle NMP = \alpha $. На каком расстоянии от центра сферы находится плоскость MNP?

Решение.

Пусть точки M, N и P лежат на сфере с центром O, $ OO_1 $ — перпендикуляр, проведённый из точки O к плоскости MNP (см. рис. а). Сечение сферы плоскостью MNP является _______ с центром _______, а точки M, N и P лежат на _______ около _______.

Найдём радиус r этой окружности. С одной стороны, так как MN = MP, то треугольник MNP _______ _______ (см. рис. б), поэтому NP = _______ MN _______ = _______.

С другой стороны, $ \frac{NP}{\sin \alpha} = 2 $ _______ (теорема синусов), поэтому $ r = O_1M = \frac{NP}{\_\_\_} = \_\_\_ \cdot \cos \frac{\alpha}{2} = \_\_\_ $.

Так как $ OO_1 \perp MNP $, то $ \triangle MO_1O $ прямоугольный и $ O_1O = \sqrt{\_\_\_} = \_\_\_ = \frac{3}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} = \_\_\_ = \sqrt{\cos \alpha} $.

Ответ.

а)

б)

Пусть точки M, N и P лежат на сфере с центром O, OO₁ — перпендикуляр, проведённый из точки O к плоскости MNP (см. рис. а). Сечение сферы плоскостью MNP является окружностью с центром $O_1$, а точки M, N и P лежат на этой окружности.

Следовательно, O₁ — центр описанной окружности около треугольника MNP.

Найдём радиус r этой окружности. С одной стороны, так как $MN = MP = 3$, то треугольник MNP равнобедренный (см. рис. б). Проведем в нем высоту MF к основанию NP. Так как треугольник равнобедренный, MF также является медианой и биссектрисой. Тогда $\angle NMF = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника MNF находим $NF = MN \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = 3\sin\frac{\alpha}{2}$. Так как F - середина NP, то $NP = 2 \cdot NF = 6 \sin\frac{\alpha}{2}$.

С другой стороны, по теореме синусов для треугольника MNP, отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2r$).$\frac{NP}{\sin\alpha} = 2r$.Выразим радиус $r$:$r = O_1M = \frac{NP}{2\sin\alpha} = \frac{6\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\alpha}$.Используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$, получаем:$r = \frac{6\sin\frac{\alpha}{2}}{2 \cdot (2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})} = \frac{3}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$.

Так как $OO_1 \perp MNP$, то $\triangle MO_1O$ прямоугольный. Искомое расстояние $O_1O$ является катетом этого треугольника. По теореме Пифагора: $O_1O^2 = OM^2 - O_1M^2$, где $OM=R=\frac{3}{\sqrt{2}}$ - радиус сферы, а $O_1M=r$ - радиус сечения.$O_1O = \sqrt{OM^2 - O_1M^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{3}{2\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{9}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}}}$.Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:$O_1O = \sqrt{\frac{18\cos^2\frac{\alpha}{2} - 9}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{9(2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1)}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}}}$.Используя формулу косинуса двойного угла $\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1$, получаем:$O_1O = \sqrt{\frac{9\cos\alpha}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}}} = \frac{3\sqrt{\cos\alpha}}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{\cos\alpha}}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$.