Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

23 Точки А и В лежат на сфере с центром О, радиус которой равен 15 см. Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если

$\angle AOB = \arccos \frac{3}{5}$.

Решение.

Пусть М — середина отрезка АВ (см. рис. к задаче 22), тогда $OM \perp$ ______ (задача 22), и, следовательно, ОМ — искомое ______.

Треугольник ОМВ ______ прямоугольный ($\angle M = ______$), поэтому $OM = OB \cdot \cos \angle$ ______ ,

$\angle BOM = \frac{1}{2} \angle AOB$. По условию $\cos \angle AOB = \frac{3}{5}$, следовательно, $\cos \frac{1}{2} \angle AOB = ______$ (так как $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = ______$). Итак, $OM = ______$ (см).

Ответ.

______ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный точками $A$, $B$ и центром сферы $O$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами сферы, поэтому $OA = OB = 15$ см. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Расстояние от центра сферы $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Проведем высоту $OM$ к основанию $AB$ треугольника $AOB$. Таким образом, $OM \perp AB$, и длина отрезка $OM$ является искомым расстоянием.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла $AOB$ и медианой.

Так как $OM$ — высота, треугольник $OMB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OMB = 90^\circ$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $OMB$ имеем:

$OM = OB \cdot \cos(\angle BOM)$

Так как $OM$ — биссектриса угла $AOB$, то:

$\angle BOM = \frac{1}{2} \angle AOB$

По условию задачи $\angle AOB = \arccos \frac{3}{5}$, следовательно, $\cos(\angle AOB) = \frac{3}{5}$.

Чтобы найти $\cos(\angle BOM)$, воспользуемся формулой косинуса половинного угла:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$

(Мы берем положительное значение корня, так как $\angle AOB$ — угол в треугольнике, значит $0^\circ < \angle AOB < 180^\circ$, и $0^\circ < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$, а косинус в первой четверти положителен).

Подставим значение $\cos(\angle AOB)$:

$\cos(\angle BOM) = \cos\left(\frac{1}{2}\angle AOB\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle AOB)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Теперь можем вычислить искомое расстояние $OM$, зная, что радиус $OB = 15$ см:

$OM = OB \cdot \cos(\angle BOM) = 15 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{30}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$OM = \frac{30 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{30\sqrt{5}}{5} = 6\sqrt{5}$ см.

Ответ: $6\sqrt{5}$ см.

24 Шар радиуса 17 см пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения.

Решение.

Пусть точка $O$ — центр шара радиуса $R = 17$ см, $\alpha$ — секущая плоскость и $OO_1 \perp \alpha$. По условию задачи расстояние $OO_1$ от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара, поэтому сечением шара плоскостью $\alpha$ является ________, площадь которого $S = \text{___} r^2$, где ____ — радиус сечения.

Возьмём точку $M$ на линии пересечения сферы и плоскости $\alpha$, тогда треугольник $OO_1M$ ______.

($\angle O_1 = \text{______}, OM = R = \text{______}, OO_1 = \text{______}$ см), откуда находим:

$O_1M = r = \text{______}, S_{\text{сеч}} = \text{______}$

Ответ.

______ см².

По условию задачи, шар с центром в точке $O$ и радиусом $R = 17$ см пересечен плоскостью $α$. Расстояние от центра шара до плоскости составляет $d = 8$ см. Сечением шара плоскостью является круг. Пусть $O_1$ — центр этого круга, а $r$ — его радиус. Расстояние от центра шара до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $α$, то есть $OO_1 = d = 8$ см.

Возьмем любую точку $M$, лежащую на окружности сечения (линии пересечения сферы и плоскости). Отрезок $OM$ соединяет центр шара с точкой на его поверхности, следовательно, является радиусом шара, и $OM = R = 17$ см. Отрезок $O_1M$ является радиусом круга в сечении, то есть $O_1M = r$.

Рассмотрим треугольник $OO_1M$. Так как отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $α$, а отрезок $O_1M$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $O_1$, то $OO_1 \perp O_1M$. Следовательно, треугольник $OO_1M$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O_1$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $OO_1M$, в котором $OM$ — гипотенуза, а $OO_1$ и $O_1M$ — катеты:
$OM^2 = OO_1^2 + O_1M^2$
Подставим известные значения в формулу:
$17^2 = 8^2 + r^2$
$289 = 64 + r^2$
Найдем квадрат радиуса сечения:
$r^2 = 289 - 64 = 225$
Сам радиус сечения равен:
$r = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ — это площадь круга радиусом $r$. Она вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \pi r^2$
Подставляя найденное значение $r^2 = 225$, получаем:
$S_{сеч} = 225\pi$ см$^2$.

Ответ: $225\pi$ см$^2$.