Номер 38, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 38, страница 28.

38 Докажите, что через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит сфера, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть данные точки A, B, C и D не

лежат в одной плоскости. Через любые

три из них, например через точки A, B

и C, проведём плоскость $\alpha$ и в ней отметим точку $O_1$ — центр окружности, Множество всех точек пространства, равноудалённых от точек A, B и C, есть прямая $l$, проходящая через __________ окружности, описанной

около треугольника __________, и перпендикулярная __________

Множеством всех точек пространства, равноудалённых от двух

точек, например A и D, является плоскость $\beta$, перпендикулярная

__________ и проходящая через его __________

Докажем, что прямая $l$ пересекается с плоскостью $\beta$. Предположим, что прямая $l$ не пересекает плоскость $\beta$. Тогда $l \parallel \beta$ либо $l \subset \beta$, и так

как $l \perp \_\_\_\_\_\_$, то $\beta \perp \_\_\_\_\_\_$. Отсюда следует, что $AD \subset \_\_\_\_\_\_$ (поскольку

$AD \perp \_\_\_\_\_\_$ и $A \in \_\_\_\_\_\_$), а значит, все данные точки A, B, C и D лежат

в __________, что противоречит условию.

Итак, прямая $l$ пересекает плоскость $\beta$ в некоторой точке O. Точка O

равноудалена от __________ А, __________ и, следовательно, является центром сферы, проходящей через __________

Единственность сферы, проходящей через точки A, B, C и D, следует из того, что центр такой сферы лежит как на прямой $l$, так

и в плоскости $\beta$ и, следовательно, совпадает с точкой O.

Доказательство.

Пусть данные точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Через любые три из них, например через точки $A$, $B$ и $C$, проведём плоскость $\alpha$ и в ней отметим точку $O_1$ — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ: описанной около треугольника ABC.

Множество всех точек пространства, равноудалённых от точек $A$, $B$ и $C$, есть прямая $l$, проходящая через центр $O_1$ окружности, описанной около треугольника ABC, и перпендикулярная плоскости $\alpha$.

Ответ: центр $O_1$; ABC; плоскости $\alpha$.

Множеством всех точек пространства, равноудалённых от двух точек, например $A$ и $D$, является плоскость $\beta$, перпендикулярная отрезку AD и проходящая через его середину.

Ответ: отрезку AD; середину.

Докажем, что прямая $l$ пересекается с плоскостью $\beta$. Предположим, что прямая $l$ не пересекает плоскость $\beta$. Тогда $l \parallel \beta$ либо $l \subset \beta$, и так как $l \perp$ $\alpha$, то $\beta \perp$ $\alpha$. Отсюда следует, что $AD \subset$ $\alpha$ (поскольку $AD \perp$ $\beta$ и $A \in$ $\alpha$), а значит, все данные точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$, что противоречит условию.

Ответ: $\alpha$; $\alpha$; $\alpha$; $\beta$; $\alpha$; плоскости $\alpha$.

Итак, прямая $l$ пересекает плоскость $\beta$ в некоторой точке $O$. Точка $O$ равноудалена от A, B, C и D, и, следовательно, является центром сферы, проходящей через A, B, C и D.

Ответ: B, C и D; A, B, C и D.

Единственность сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $C$ и $D$, следует из того, что центр такой сферы лежит как на прямой $l$, так и в плоскости $\beta$ и, следовательно, совпадает с точкой $O$.

Ответ: в этом абзаце пропусков для заполнения нет.