Номер 46, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 46, страница 35.

46 Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра. (Задача 435 учебника.)

Решение.

На рисунке изображена сфера с центром $O$ и радиусом $R$, вписанная в цилиндр с осью $O_1O_2$ (точки $O_1$ и $O_2$ — центры ____ ). Центр сферы делит отрезок $O_1O_2$ ____ .

$OO_1 = ____ = ____$.

Плоскость, проходящая через центр сферы $O$ и перпендикулярная оси цилиндра $O_1O_2$, пересекает сферу по ____ , а боковую поверхность цилиндра — по окружности, равной ____ .

Таким образом, радиус основания цилиндра равен ____ , а высота цилиндра равна ____ .

Так как $S_{сферы} = ____$, $S_{полн. цил} = ____$.

____ , то $S_{сферы} : S_{полн. цил} = ____ : ____ = ____$.

Ответ. ____

Решение.

На рисунке изображена сфера с центром O и радиусом $R$, вписанная в цилиндр с осью $O_1O_2$ (точки $O_1$ и $O_2$ — центры оснований цилиндра). Центр сферы делит отрезок $O_1O_2$ пополам. $OO_1 = OO_2 = R$.

Плоскость, проходящая через центр сферы O и перпендикулярная оси цилиндра $O_1O_2$, пересекает сферу по большому кругу, а боковую поверхность цилиндра — по окружности, равной окружности основания. Таким образом, радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра равна $2R$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($2S_{осн}$).

$S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2$

$S_{осн} = \pi R^2$

$S_{полн. цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$

Найдем отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра:

$S_{сферы} : S_{полн. цил} = 4\pi R^2 : 6\pi R^2 = \frac{4\pi R^2}{6\pi R^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $2:3$