Номер 52, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.1. Объём прямоугольного параллелепипеда - номер 52, страница 39.

52 Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 4 см и составляет с диагональю основания угол в 30°. Через данную сторону и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, плоскость которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Решение.

На рисунке к задаче 50 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $AD = 4$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Из прямоугольного треугольника $ADC$ находим: $DC = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см).

Плоскость сечения, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$, составляет с плоскостью основания $ABCD$ угол в $60^\circ$, поэтому $\angle C_1DC = \underline{\hspace{2em}}$ (как $\underline{\hspace{2em}}$ двугранного угла $\underline{\hspace{2em}}$).

Из $\underline{\hspace{2em}}$ треугольника $CC_1D$ находим: $CC_1 = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$.

Итак, $V = AD \cdot \underline{\hspace{2em}} \cdot \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ ($\text{см}^3$).

Ответ.

$\underline{\hspace{2em}}$ $\text{см}^3$.

Решение.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По условию, сторона основания $AD = 4$ см. Диагональ основания $AC$ образует с этой стороной угол $\angle CAD = 30^\circ$. Так как основание $ABCD$ является прямоугольником, треугольник $ADC$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$).

Из прямоугольного треугольника $ADC$ находим длину второй стороны основания $DC$:$DC = AD \cdot \text{tg}(\angle CAD) = 4 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Сечение проведено через сторону $AD$ и противолежащую ей сторону $B_1C_1$ другого основания. Плоскость этого сечения ($ADC_1B_1$) составляет с плоскостью основания ($ABCD$) угол $60^\circ$.Линией пересечения этих плоскостей является ребро $AD$. Угол между плоскостями измеряется линейным углом соответствующего двугранного угла. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро $DC \perp AD$ (в плоскости основания). Прямая $AD$ перпендикулярна всей грани $DCC_1D_1$ (так как $AD \perp DC$ и $AD \perp DD_1$), а значит, $AD$ перпендикулярна и прямой $DC_1$, лежащей в этой грани.Таким образом, угол $\angle C_1DC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle C_1DC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1D$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как $CC_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике мы можем найти высоту параллелепипеда $CC_1$:$CC_1 = DC \cdot \text{tg}(\angle C_1DC) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \text{tg}(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($AD$, $DC$ и $CC_1$), находим его объём:$V = AD \cdot DC \cdot CC_1 = 4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 4 = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.