Номер 57, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 57, страница 43.

57 Основанием наклонной призмы ABC A₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 7 см и AC = 24 см. Вершина A₁ равноудалена от вершин A, B и C. Найдите объём призмы, если ребро AA₁ составляет с плоскостью основания угол в 45°. (Задача 472 учебника.)

Решение.

На рисунке изображена данная призма ABC A₁B₁C₁. Середина O гипотенузы BC треугольника ABC является центром окружности, __________ . Так как по условию точка A₁ равноудалена от вершин A, B и C, то она лежит на прямой, перпендикулярной к __________ и проходящей через центр __________ — точку O, поэтому A₁O $\perp$ __________ , т. е. A₁O — __________ призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{ABC} \cdot A_1O$, следовательно, нужно найти $S_{ABC}$ и $A_1O$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2}$ __________ = __________ = __________ ($см^2$).

Из __________ треугольника $AOA_1$ найдём высоту $A_1O$. Так как прямая $AO$ — проекция __________ на плоскость __________ , то $\angle A_1AO$ — угол между __________ и плоскостью __________ . По $\angle A_1AO = 45^\circ$, поэтому $A_1O = $ __________ = __________ = __________ CB = __________ (см).

Итак, $V = $ __________ = __________ ($см^3$).

Ответ.

__________ $см^3$.

Решение.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = 7$ см и $AC = 24$ см. Найдём его площадь:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см².

Далее найдём высоту призмы. По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин основания $A$, $B$ и $C$. Это означает, что проекция точки $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Обозначим эту проекцию точкой $O$. Тогда отрезок $A_1O$ является высотой призмы, то есть $H = A_1O$.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине его гипотенузы. Найдём длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см.

Точка $O$ является серединой $BC$, а отрезок $AO$ — радиусом описанной окружности. Радиус равен половине гипотенузы:

$AO = \frac{1}{2}BC = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между самой прямой $AA_1$ и её проекцией $AO$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle A_1AO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOA_1$. Он является прямоугольным, так как $A_1O$ — высота и, следовательно, $A_1O \perp AO$. Поскольку один из острых углов ($\angle A_1AO$) этого прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $A_1O = AO$.

Следовательно, высота призмы $H = A_1O = AO = 12.5$ см.

Теперь мы можем вычислить объём призмы:

$V = S_{ABC} \cdot H = 84 \cdot 12.5 = 84 \cdot \frac{25}{2} = 42 \cdot 25 = 1050$ см³.

Ответ: 1050 см³.