Номер 61, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 61, страница 47.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 3 см и 6 см, апофема пирамиды равна $3\sqrt{3}/2$ см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данная правильная четырёхугольная усечённая пирамида, тогда её основаниями являются $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $OO_1$, соединяющий центры оснований, — __________, а отрезок $MM_1$, соединяющий середины сторон оснований $AB$ и $A_1B_1$, — __________.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле

$V = \frac{\text{__________}}{3} (S_1 + \text{__________} + \sqrt{\text{__________}\text{__________}})$, где $h = \text{__________}$, $S$ и $\text{__________}$.

Так как $AB = 6$ см, $A_1B_1 = 3$ см, то $S = \text{__________}$, $S_1 = \text{__________}$

Для нахождения высоты пирамиды рассмотрим четырёхугольник $OO_1M_1M$, который является __________

Пусть $M_1P || OO_1$, тогда $MP = \text{__________} - M_1O_1 = \text{__________} - \text{__________} = \text{__________}$

и из __________ треугольника $MPM_1$ находим: $MP = \sqrt{\text{__________} - \text{__________}} = \sqrt{\text{__________} - \text{__________}} = \sqrt{\text{__________}} = \text{__________}$ (см).

Следовательно, $OO_1 = \text{__________}$ см.

Итак, $V = \text{__________} = \text{__________}$ ($\text{см}^3$).

Ответ.

__________ $\text{см}^3$.

Решение.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данная правильная четырёхугольная усечённая пирамида, тогда её основаниями являются квадраты $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $OO_1$, соединяющий центры оснований, — высота пирамиды, а отрезок $MM_1$, соединяющий середины сторон оснований $AB$ и $A_1B_1$, — апофема.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}h(S + S_1 + \sqrt{SS_1})$, где $h$ — высота пирамиды, а $S$ и $S_1$ — площади оснований.

Так как стороны оснований равны $AB = 6$ см и $A_1B_1 = 3$ см, то площади оснований равны:

$S = AB^2 = 6^2 = 36$ см$^2$

$S_1 = A_1B_1^2 = 3^2 = 9$ см$^2$

Для нахождения высоты пирамиды рассмотрим осевое сечение, проходящее через апофемы $MM_1$, — это прямоугольная трапеция $OO_1M_1M$. В ней $OO_1 = h$ — высота пирамиды. Основания трапеции $OM$ и $O_1M_1$ равны половинам сторон квадратов-оснований:

$OM = \frac{1}{2}AB = \frac{6}{2} = 3$ см

$O_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{3}{2} = 1,5$ см

Проведём высоту $M_1P$ из точки $M_1$ на основание $OM$. Тогда $M_1P = OO_1 = h$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $MPM_1$ катет $MP$ равен разности оснований трапеции:

$MP = OM - O_1M_1 = 3 - 1,5 = 1,5$ см.

По теореме Пифагора найдём катет $M_1P$, который является высотой усечённой пирамиды $h$:

$h = M_1P = \sqrt{MM_1^2 - MP^2} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 - (1,5)^2} = \sqrt{\frac{27}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

Следовательно, высота пирамиды $OO_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить объём усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S + S_1 + \sqrt{SS_1}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} (36 + 9 + \sqrt{36 \cdot 9}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (45 + 18) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 63 = \frac{63\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{63\sqrt{2}}{2}$ см³.