Номер 54, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.2. Объём прямой призмы и цилиндра - номер 54, страница 41.

54 В цилиндр, площадь осевого сечения которого равна $24 \text{ см}^2$, вписана призма. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом, равным $2\sqrt{3}$ см, и прилежащим к нему углом в $30^\circ$. Найдите объём цилиндра.

Решение.

На рисунке изображены цилиндр и вписанная в него призма $ABCA_1B_1C_1$. Из определения вписанной в цилиндр призмы следует, что $AA_1 \perp$ ___________, и основания призмы вписаны в ___________________________.

Имеем:

треугольник $ABC$ вписан в окружность основания цилиндра, поэтому его гипотенуза _________________________ является _______________________, а прямоугольник $AA_1B_1B$ – осевое __________________. Из треугольника $ABC$ находим:

$AB = AC :$ __________________________ = __________________________ = __________________________ (см).

Следовательно, радиус цилиндра $r = $ __________________________ = __________________________.

По условию $S_{AA_1B_1B} = AB \cdot$ __________________________ = __________________________ ($\text{см}^2$), откуда $AA_1 = $ __________________________.

$V_{\text{цил}} = \pi \cdot$ __________________________ = __________________________ ($\text{см}^3$).

Ответ.

__________________________ $\text{см}^3$.

Поскольку в цилиндр вписана прямая призма, ее основание (прямоугольный треугольник ABC) вписано в окружность, являющуюся основанием цилиндра. По свойству прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, его гипотенуза является диаметром этой окружности.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Так как гипотенуза AB основания призмы является диаметром основания цилиндра, то прямоугольник AA₁B₁B является осевым сечением.

1. Найдем диаметр и радиус основания цилиндра
Рассмотрим основание призмы — прямоугольный треугольник ABC (пусть $\angle C = 90^\circ$). По условию, дан катет, равный $2\sqrt{3}$ см, и прилежащий к нему угол в $30^\circ$. Пусть катет $AC = 2\sqrt{3}$ см и $\angle A = 30^\circ$. Гипотенуза AB является диаметром $d$ основания цилиндра.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим гипотенузу: $\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
$d = AB = \frac{AC}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$ см.

Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Найдем высоту цилиндра
Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ по условию равна 24 см². Эта площадь равна произведению диаметра основания $d$ на высоту цилиндра $H$.

$S_{сеч} = d \cdot H$
$24 = 4 \cdot H$
$H = \frac{24}{4} = 6$ см.

3. Найдем объём цилиндра
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 H$. Подставим найденные значения радиуса $r=2$ см и высоты $H=6$ см:

$V = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = \pi \cdot 4 \cdot 6 = 24\pi$ см³.

Ответ: $24\pi$ см³.