Номер 4, страница 19, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник Моро, Бантова

Странички для любознательных. Числа от 1 до 100. Нумерация. ч. 1 - номер 4, страница 19.

4. Игра «Кто первым наберёт 10»

Играют двое. Один называет любое число от 1 до 5. Другой прибавляет к этому числу 1 или 2. Дальше оба продолжают прибавлять к полученному числу 1 или 2 по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число 10. Например: играют Оля и Юра.

Оля называет число 2.
Юра: 2 + 2 = 4.
Оля: 4 + 2 = 6.
Юра: 6 + 1=7.
Оля: 7 + 1=8.
Юра: 8 + 2 = 10.
Выиграл Юра.

Теперь Оля называет число 3.
Юра: 3 + 2 = 5.
Оля: 5 + 2 = 7.
Юра: 7 + 2 = 9.
Оля: 9 + 1 = 10.
Выиграла Оля.

Объясни, как рассуждал каждый из них.

Это стратегическая игра, в которой победа зависит не от удачи, а от правильных ходов. Существует выигрышная стратегия, которая позволяет одному из игроков гарантированно победить. Чтобы её найти, нужно проанализировать игру, двигаясь в обратном направлении от цели — числа 10.

Анализ игры и ключевые позиции

Выигрывает тот, кто назовёт число 10. Посмотрим, какие числа ведут к победе. Эти числа мы будем называть "выигрышными позициями", а те, с которых невозможно выиграть при правильной игре соперника — "проигрышными".

• Если очередь вашего хода и на кону число 9, вы добавляете 1 и получаете 10. Вы выиграли. Значит, 9 — выигрышная позиция.
• Если на кону 8, вы добавляете 2 и получаете 10. Вы выиграли. Значит, 8 — тоже выигрышная позиция.
• Если на кону число 7, вы можете добавить 1 (получится 8) или 2 (получится 9). В обоих случаях вы передаёте ход сопернику на выигрышную для него позицию. Он сможет получить 10 и выиграть. Значит, 7 — это проигрышная позиция. Ваша цель — заставить соперника оказаться на этом числе.
• Если на кону 6 или 5, вы можете сделать ход так, чтобы получить 7 ( $6+1=7$ или $5+2=7$ ). Так как 7 — проигрышная позиция для следующего игрока, то 6 и 5 — выигрышные для вас.
• Если на кону число 4, вы можете добавить только 1 (получится 5) или 2 (получится 6). С обеих этих позиций ваш соперник, как мы выяснили, может получить 7 и поставить уже вас в проигрышное положение. Следовательно, 4 — это проигрышная позиция.
• Аналогично рассуждая, мы выясним, что 3 и 2 — выигрышные позиции (с них можно попасть на 4), а 1 — проигрышная позиция (любой ход с неё ведёт на 2 или 3, с которых соперник попадёт на 4).

Таким образом, ключевые, или проигрышные, позиции, на которые нужно "ставить" соперника, — это 1, 4 и 7. Можно заметить, что они получаются вычитанием числа 3 из цели: $10-3=7$, $7-3=4$, $4-3=1$.

Ответ: Ключевыми (проигрышными) позициями в игре являются числа 1, 4 и 7. Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы своими ходами получать эти числа и заставлять соперника ходить с них.

Выигрышная стратегия для первого игрока

Первый игрок имеет возможность гарантированно выиграть, так как он делает первый ход и может сразу занять выигрышную позицию.

1. Первый ход. Первый игрок должен назвать число, которое является проигрышной позицией для второго. Из доступных по правилам чисел (от 1 до 5) такими являются 1 и 4.
2. Последующие ходы. На каждый ход второго игрока, который прибавляет число $N$ (где $N$ это 1 или 2), первый игрок должен отвечать, прибавляя число $3-N$. То есть, если соперник прибавил 1, вы прибавляете 2. Если соперник прибавил 2, вы прибавляете 1. Таким образом, за один круг (ход соперника + ваш ход) сумма всегда будет увеличиваться на 3.

Пример:

• Первый игрок называет 4.
• Второй игрок прибавляет 2 (сумма $4+2=6$ ).
• Первый игрок прибавляет 1 (т.к. $3-2=1$ ). Сумма становится $6+1=7$.
• Второй игрок вынужден ходить с проигрышной позиции 7. Он прибавляет 1 (сумма $7+1=8$ ).
• Первый игрок прибавляет 2 (т.к. $3-1=2$ ). Сумма становится $8+2=10$. Первый игрок побеждает.

Ответ: Чтобы гарантированно выиграть, первый игрок должен начать с числа 1 или 4, а затем на каждое добавленное соперником число $N$ отвечать добавлением числа $3-N$.

Стратегия для второго игрока (в случае ошибки первого)

Второй игрок может победить только в том случае, если первый игрок ошибётся на первом ходу, то есть назовёт число 2, 3 или 5. В этом случае второй игрок может "перехватить" выигрышную стратегию.

• Если первый игрок назвал 2, второй должен прибавить 2, чтобы получить $2+2=4$.
• Если первый игрок назвал 3, второй должен прибавить 1, чтобы получить $3+1=4$.
• Если первый игрок назвал 5, второй должен прибавить 2, чтобы получить $5+2=7$.

Получив одну из ключевых позиций (4 или 7), второй игрок должен дальше придерживаться той же стратегии "дополнения до 3": если первый игрок добавляет $N$, второй добавляет $3-N$. Это обеспечит ему победу.

Пример из условия (второй вариант):

• Оля (первый игрок) называет 3 (это ошибка).
• Юра (второй игрок) должен был бы прибавить 1, чтобы получить 4. Но в примере он прибавляет 2 и получает $3+2=5$. Это ошибка со стороны Юры, которая дает Оле шанс.
• Оля ходит с 5 и прибавляет 2, получая $5+2=7$. Она захватила ключевую позицию!
• Юра ходит с 7, прибавляет 2 и получает $7+2=9$.
• Оля ходит с 9, прибавляет 1 и получает $9+1=10$. Оля выигрывает, потому что она смогла захватить ключевую позицию 7.

Ответ: Второй игрок может выиграть, если первый игрок назовёт вначале 2, 3 или 5. Второму игроку нужно своим первым ходом получить ключевое число (4 или 7) и далее придерживаться выигрышной стратегии.