Страница 19, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

3. Во время перемены в лесной школе на поляне играли белки, зайцы и ежи, всего 10 зверей. Ежей было на 4 меньше, чем белок, и на 3 меньше, чем зайцев. Сколько было ежей? белок? зайцев?

Давайте решим эту задачу с помощью уравнения. Обозначим количество ежей за $x$.

Из условия известно, что ежей было на 4 меньше, чем белок. Следовательно, белок было на 4 больше, чем ежей. Количество белок можно выразить как $x + 4$.

Также сказано, что ежей было на 3 меньше, чем зайцев. Значит, зайцев было на 3 больше, чем ежей. Количество зайцев можно выразить как $x + 3$.

Общее количество зверей — 10. Мы можем сложить количество всех животных и приравнять к 10, чтобы составить уравнение:
Количество ежей + Количество белок + Количество зайцев = 10
$x + (x + 4) + (x + 3) = 10$

Теперь решим это уравнение:
$3x + 7 = 10$
$3x = 10 - 7$
$3x = 3$
$x = 1$

Сколько было ежей?
Мы обозначили количество ежей за $x$ и нашли, что $x=1$.
Ответ: был 1 еж.

Сколько было белок?
Количество белок равно $x + 4$. Подставляем найденное значение $x$:
$1 + 4 = 5$
Ответ: было 5 белок.

Сколько было зайцев?
Количество зайцев равно $x + 3$. Подставляем найденное значение $x$:
$1 + 3 = 4$
Ответ: было 4 зайца.

Для проверки сложим количество всех зверей: $1 \text{ (еж)} + 5 \text{ (белок)} + 4 \text{ (зайца)} = 10 \text{ зверей}$. Решение верное.

4. Игра «Кто первым наберёт 10»

Играют двое. Один называет любое число от 1 до 5. Другой прибавляет к этому числу 1 или 2. Дальше оба продолжают прибавлять к полученному числу 1 или 2 по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число 10. Например: играют Оля и Юра.

Объясни, как рассуждал каждый из них.

Это стратегическая игра, в которой победа зависит не от удачи, а от правильных ходов. Существует выигрышная стратегия, которая позволяет одному из игроков гарантированно победить. Чтобы её найти, нужно проанализировать игру, двигаясь в обратном направлении от цели — числа 10.

Анализ игры и ключевые позиции

Выигрывает тот, кто назовёт число 10. Посмотрим, какие числа ведут к победе. Эти числа мы будем называть "выигрышными позициями", а те, с которых невозможно выиграть при правильной игре соперника — "проигрышными".

• Если очередь вашего хода и на кону число 9, вы добавляете 1 и получаете 10. Вы выиграли. Значит, 9 — выигрышная позиция.
• Если на кону 8, вы добавляете 2 и получаете 10. Вы выиграли. Значит, 8 — тоже выигрышная позиция.
• Если на кону число 7, вы можете добавить 1 (получится 8) или 2 (получится 9). В обоих случаях вы передаёте ход сопернику на выигрышную для него позицию. Он сможет получить 10 и выиграть. Значит, 7 — это проигрышная позиция. Ваша цель — заставить соперника оказаться на этом числе.
• Если на кону 6 или 5, вы можете сделать ход так, чтобы получить 7 ( $6+1=7$ или $5+2=7$ ). Так как 7 — проигрышная позиция для следующего игрока, то 6 и 5 — выигрышные для вас.
• Если на кону число 4, вы можете добавить только 1 (получится 5) или 2 (получится 6). С обеих этих позиций ваш соперник, как мы выяснили, может получить 7 и поставить уже вас в проигрышное положение. Следовательно, 4 — это проигрышная позиция.
• Аналогично рассуждая, мы выясним, что 3 и 2 — выигрышные позиции (с них можно попасть на 4), а 1 — проигрышная позиция (любой ход с неё ведёт на 2 или 3, с которых соперник попадёт на 4).

Таким образом, ключевые, или проигрышные, позиции, на которые нужно "ставить" соперника, — это 1, 4 и 7. Можно заметить, что они получаются вычитанием числа 3 из цели: $10-3=7$, $7-3=4$, $4-3=1$.

Ответ: Ключевыми (проигрышными) позициями в игре являются числа 1, 4 и 7. Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы своими ходами получать эти числа и заставлять соперника ходить с них.

Выигрышная стратегия для первого игрока

Первый игрок имеет возможность гарантированно выиграть, так как он делает первый ход и может сразу занять выигрышную позицию.

1. Первый ход. Первый игрок должен назвать число, которое является проигрышной позицией для второго. Из доступных по правилам чисел (от 1 до 5) такими являются 1 и 4.
2. Последующие ходы. На каждый ход второго игрока, который прибавляет число $N$ (где $N$ это 1 или 2), первый игрок должен отвечать, прибавляя число $3-N$. То есть, если соперник прибавил 1, вы прибавляете 2. Если соперник прибавил 2, вы прибавляете 1. Таким образом, за один круг (ход соперника + ваш ход) сумма всегда будет увеличиваться на 3.

Пример:

• Первый игрок называет 4.
• Второй игрок прибавляет 2 (сумма $4+2=6$ ).
• Первый игрок прибавляет 1 (т.к. $3-2=1$ ). Сумма становится $6+1=7$.
• Второй игрок вынужден ходить с проигрышной позиции 7. Он прибавляет 1 (сумма $7+1=8$ ).
• Первый игрок прибавляет 2 (т.к. $3-1=2$ ). Сумма становится $8+2=10$. Первый игрок побеждает.

Ответ: Чтобы гарантированно выиграть, первый игрок должен начать с числа 1 или 4, а затем на каждое добавленное соперником число $N$ отвечать добавлением числа $3-N$.

Стратегия для второго игрока (в случае ошибки первого)

Второй игрок может победить только в том случае, если первый игрок ошибётся на первом ходу, то есть назовёт число 2, 3 или 5. В этом случае второй игрок может "перехватить" выигрышную стратегию.

• Если первый игрок назвал 2, второй должен прибавить 2, чтобы получить $2+2=4$.
• Если первый игрок назвал 3, второй должен прибавить 1, чтобы получить $3+1=4$.
• Если первый игрок назвал 5, второй должен прибавить 2, чтобы получить $5+2=7$.

Получив одну из ключевых позиций (4 или 7), второй игрок должен дальше придерживаться той же стратегии "дополнения до 3": если первый игрок добавляет $N$, второй добавляет $3-N$. Это обеспечит ему победу.

Пример из условия (второй вариант):

• Оля (первый игрок) называет 3 (это ошибка).
• Юра (второй игрок) должен был бы прибавить 1, чтобы получить 4. Но в примере он прибавляет 2 и получает $3+2=5$. Это ошибка со стороны Юры, которая дает Оле шанс.
• Оля ходит с 5 и прибавляет 2, получая $5+2=7$. Она захватила ключевую позицию!
• Юра ходит с 7, прибавляет 2 и получает $7+2=9$.
• Оля ходит с 9, прибавляет 1 и получает $9+1=10$. Оля выигрывает, потому что она смогла захватить ключевую позицию 7.

Ответ: Второй игрок может выиграть, если первый игрок назовёт вначале 2, 3 или 5. Второму игроку нужно своим первым ходом получить ключевое число (4 или 7) и далее придерживаться выигрышной стратегии.

5. Ученикам лесной школы очень понравилось работать на машине, которая перекрашивала фигуры жёлтого цвета в зелёный, а размер и форму фигур не меняла. Они правильно выполнили все задания.

Расскажи, какие фигуры появились в окошках каждой машины.

В условии задачи сказано, что машина перекрашивает фигуры жёлтого цвета в зелёный, но не меняет их форму и размер. Это правило является ключом к решению всех трёх заданий. Разберём каждую машину по отдельности.

Первая машина (сверху слева)

На вход в машину поступает жёлтый круг. Согласно правилу, машина меняет цвет с жёлтого на зелёный, а форма (круг) остаётся без изменений. Следовательно, на выходе из машины в окошке с вопросительным знаком появится зелёный круг.

Ответ: зелёный круг.

Вторая машина (сверху справа)

В этом случае нам известен результат: на выходе из машины мы видим зелёный квадрат. Мы знаем, что машина получает на вход жёлтые фигуры и делает их зелёными, не меняя форму. Чтобы на выходе получить зелёный квадрат, на вход в окошко с вопросительным знаком должен был поступить жёлтый квадрат.

Ответ: жёлтый квадрат.

Третья машина (снизу)

Это задание аналогично второму. На выходе из машины мы видим зелёный пятиугольник (похожий на домик). Так как машина меняет только цвет с жёлтого на зелёный, а форма остаётся прежней, значит на входе в окошке с вопросительным знаком был жёлтый пятиугольник.

Ответ: жёлтый пятиугольник (домик).

28. В школьном уголке природы три аквариума: в первом 8 рыбок, во втором на 3 рыбки меньше, чем в первом, а в третьем столько рыбок, сколько в первом и втором аквариумах вместе. Сколько рыбок в третьем аквариуме? Сколько рыбок в трёх аквариумах?

Для решения задачи выполним действия по порядку.

1. Сначала определим количество рыбок во втором аквариуме. По условию, их на 3 меньше, чем в первом аквариуме, в котором 8 рыбок.
$8 - 3 = 5$ (рыбок) – во втором аквариуме.

Теперь, зная количество рыбок в первом и втором аквариумах, можно ответить на вопросы задачи.

Сколько рыбок в третьем аквариуме?
В третьем аквариуме находится столько рыбок, сколько в первом и втором аквариумах вместе. Чтобы найти это количество, сложим число рыбок в первом и втором аквариумах.
$8 + 5 = 13$ (рыбок).
Ответ: в третьем аквариуме 13 рыбок.

Сколько рыбок в трёх аквариумах?
Чтобы найти общее количество рыбок, необходимо сложить количество рыбок из всех трёх аквариумов.
$8$ (в первом) $+ 5$ (во втором) $+ 13$ (в третьем) $= 26$ (рыбок).
Ответ: в трёх аквариумах 26 рыбок.

1)

Задача: У Оли было 20 конфет (к.). У Ани было на 5 конфет меньше, чем у Оли. Сколько всего конфет было у девочек?

Решение:

1. Сначала узнаем, сколько конфет было у Ани. По условию, у неё на 5 конфет меньше, чем у Оли, поэтому нужно из количества конфет Оли вычесть 5.

$20 - 5 = 15$ (к.) — было у Ани.

2. Теперь, зная количество конфет у каждой девочки, найдем их общее количество. Для этого сложим количество конфет Оли и Ани.

$20 + 15 = 35$ (к.) — было всего.

Ответ: 35 конфет.

2)

Задача: У Миши было 5 рублей (р.), а у Коли — 50 рублей. Они вместе истратили 20 рублей. Сколько денег у них осталось?

Решение:

1. Сначала определим, сколько всего денег было у мальчиков. Для этого сложим деньги Миши и Коли.

$5 + 50 = 55$ (р.) — было всего у мальчиков.

2. Теперь, чтобы узнать, сколько денег у них осталось, вычтем из общей суммы ту сумму, которую они истратили.

$55 - 20 = 35$ (р.) — осталось.

Ответ: 35 рублей.

30. Составь задачу по выражению и реши её.

1)

Задача по выражению $100 - (15 + 30)$:

В мотке было 100 метров ленты. Сначала от него отрезали 15 метров для украшения подарка, а затем еще 30 метров для рукоделия. Сколько метров ленты осталось в мотке?

Решение:

Чтобы найти ответ, нужно сначала определить, сколько всего метров ленты отрезали. Для этого складываем длины отрезанных частей:

$15 + 30 = 45$ (м)

Теперь, чтобы узнать, сколько ленты осталось, вычтем из первоначальной длины общее количество отрезанной ленты:

$100 - 45 = 55$ (м)

Полное решение выглядит так: $100 - (15 + 30) = 100 - 45 = 55$.

Ответ: 55 метров.

2)

Задача по выражению $50 + (30 + 20)$:

В парке росло 50 деревьев. Весной сотрудники парка посадили сначала 30 саженцев клёна, а потом еще 20 саженцев дуба. Сколько всего деревьев стало в парке?

Решение:

Чтобы найти ответ, нужно сначала посчитать, сколько всего новых саженцев посадили. Для этого сложим количество саженцев клёна и дуба:

$30 + 20 = 50$ (деревьев)

Теперь, чтобы узнать общее количество деревьев в парке, сложим первоначальное количество деревьев с количеством новых посаженных деревьев:

$50 + 50 = 100$ (деревьев)

Полное решение выглядит так: $50 + (30 + 20) = 50 + 50 = 100$.

Ответ: 100 деревьев.

31. 1) Составь задачу по чертежу и реши её.

2) Составь две задачи, обратные данной. Реши их.

1) Составь задачу по чертежу и реши её.

Условие задачи:
Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно начали движение два мальчика: один на велосипеде, а другой пешком. До момента их встречи велосипедист проехал 70 м, а пешеход прошёл 28 м. Какое расстояние было между пунктами изначально?

Решение:
Чтобы найти первоначальное расстояние между мальчиками, необходимо сложить расстояния, которые преодолел каждый из них до встречи.

$70 \text{ м} + 28 \text{ м} = 98 \text{ м}$

Ответ: расстояние между пунктами составляло 98 метров.

2) Составь две задачи, обратные данной. Реши их.

Первая обратная задача

Условие задачи:
Из двух пунктов, расстояние между которыми 98 м, навстречу друг другу одновременно начали движение велосипедист и пешеход. До момента встречи велосипедист проехал 70 м. Какое расстояние до встречи прошёл пешеход?

Решение:
Чтобы найти расстояние, которое прошёл пешеход, нужно из общего расстояния вычесть путь, который проехал велосипедист.

$98 \text{ м} - 70 \text{ м} = 28 \text{ м}$

Ответ: пешеход прошёл 28 метров.

Вторая обратная задача

Условие задачи:
Два мальчика отправились навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 98 м. До момента встречи мальчик, который шёл пешком, прошёл 28 м. Какое расстояние до встречи проехал мальчик на велосипеде?

Решение:
Чтобы найти расстояние, которое проехал велосипедист, нужно из общего расстояния вычесть путь, который прошёл пешеход.

$98 \text{ м} - 28 \text{ м} = 70 \text{ м}$

Ответ: велосипедист проехал 70 метров.

32. Альбом стоит 25 р., журнал – 56 р., книга – столько, сколько стоят альбом и журнал вместе. На сколько рублей книга дороже, чем альбом? чем журнал?

Можно ли ответить на вопросы задачи, не выполняя вычислений? Почему?

Для решения этой задачи давайте разберем все условия по порядку.

Стоимость альбома — 25 рублей.

Стоимость журнала — 56 рублей.

Стоимость книги равна сумме стоимостей альбома и журнала.

На сколько рублей книга дороже, чем альбом?

Чтобы найти, на сколько книга дороже альбома, нужно из цены книги вычесть цену альбома. По условию, цена книги равна "цена альбома + цена журнала".

Таким образом, разница цен составляет: $(цена \ альбома + цена \ журнала) - цена \ альбома$.

В этом выражении цена альбома вычитается сама из себя, и в результате остается только цена журнала. Цена журнала составляет 56 рублей.

Проверим это с помощью вычислений:

1. Найдем стоимость книги: $25 + 56 = 81$ рубль.

2. Найдем, на сколько книга дороже альбома: $81 - 25 = 56$ рублей.

Ответ: книга дороже, чем альбом, на 56 рублей.

чем журнал?

Чтобы найти, на сколько книга дороже журнала, нужно из цены книги вычесть цену журнала.

Разница цен составляет: $(цена \ альбома + цена \ журнала) - цена \ журнала$.

В этом выражении цена журнала вычитается сама из себя, и в результате остается только цена альбома. Цена альбома составляет 25 рублей.

Проверим это с помощью вычислений:

1. Стоимость книги, как мы уже знаем, 81 рубль.

2. Найдем, на сколько книга дороже журнала: $81 - 56 = 25$ рублей.

Ответ: книга дороже, чем журнал, на 25 рублей.

Можно ли ответить на вопросы задачи, не выполняя вычислений? Почему?

Да, на эти вопросы можно ответить, не выполняя сложение для нахождения общей стоимости книги.

Почему:

Из условия следует, что цена книги — это сумма цен альбома и журнала. Поэтому, чтобы узнать, на сколько книга дороже альбома, достаточно понять, что эта разница будет равна цене журнала (56 рублей). Аналогично, чтобы узнать, на сколько книга дороже журнала, нужно понять, что эта разница будет равна цене альбома (25 рублей). Обе эти цены уже даны в условии, и никаких дополнительных вычислений (таких как $25 + 56$) для нахождения ответа не требуется.

Ответ: да, можно. Потому что книга дороже альбома ровно на стоимость журнала, а дороже журнала — ровно на стоимость альбома. Обе эти стоимости известны из условия задачи.

33. Используя таблицу, составь выражения и вычисли их значения.

В задании необходимо составить выражения на основе данных из таблицы и вычислить их значения. В таблице даны пары чисел: уменьшаемое (число, из которого вычитают) и вычитаемое (число, которое вычитают). Для каждой пары нужно найти их разность.

Для первого столбца: Уменьшаемое равно 40, вычитаемое равно 8. Составим выражение и вычислим его значение: $40 - 8 = 32$. Ответ: 32

Для второго столбца: Уменьшаемое равно 30, вычитаемое равно 7. Составим выражение и вычислим его значение: $30 - 7 = 23$. Ответ: 23

Для третьего столбца: Уменьшаемое равно 50, вычитаемое равно 15. Составим выражение и вычислим его значение: $50 - 15 = 35$. Ответ: 35

Для четвертого столбца: Уменьшаемое равно 60, вычитаемое равно 12. Составим выражение и вычислим его значение: $60 - 12 = 48$. Ответ: 48

Для пятого столбца: Уменьшаемое равно 70, вычитаемое равно 12. Составим выражение и вычислим его значение: $70 - 12 = 58$. Ответ: 58

Для шестого столбца: Уменьшаемое равно 80, вычитаемое равно 12. Составим выражение и вычислим его значение: $80 - 12 = 68$. Ответ: 68

ПРОДОЛЖИ РЯД ЧИСЕЛ:

Чтобы продолжить предложенный числовой ряд — 81, 77, 73, 69, 65, ... — необходимо найти закономерность. Проанализируем разницу между соседними членами этой последовательности:
$77 - 81 = -4$
$73 - 77 = -4$
$69 - 73 = -4$
$65 - 69 = -4$

Разница между любым последующим и предыдущим членом ряда постоянна и равна -4. Это означает, что мы имеем дело с убывающей арифметической прогрессией, разность которой $d = -4$.

Для продолжения ряда необходимо найти следующие члены прогрессии, последовательно вычитая 4 из последнего известного члена:
Шестой член: $65 - 4 = 61$
Седьмой член: $61 - 4 = 57$
Восьмой член: $57 - 4 = 53$

Ответ: 61, 57, 53.