Номер 2, страница 32, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник Моро, Бантова

Длина ломаной. Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание. ч. 1 - номер 2, страница 32.

2.

1) Узнай длину каждой ломаной.
2) Сравни ломаные и их длины.

1) Узнай длину каждой ломаной.

Для определения длины каждого отрезка (звена) ломаной линии будем использовать сетку. Примем сторону одной клетки сетки за 1 условную единицу (ед.). Так как каждое звено является диагональю прямоугольника, его длину можно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — это катеты, соответствующие смещению по горизонтали и вертикали в клетках.

Ломаная 1 (синяя)

Эта ломаная состоит из трех звеньев. Найдем длину каждого из них:

• Первое (верхнее) звено: смещение на 1 клетку по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L_1 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.

• Второе (среднее) звено: смещение на 1 клетку по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.

• Третье (нижнее) звено: смещение на 1 клетку по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L_3 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.

Общая длина первой ломаной равна сумме длин ее звеньев:
$L_{общ1} = L_1 + L_2 + L_3 = \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ ед.

Ломаная 2 (розовая)

Эта ломаная является замкнутой и образует треугольник. Она также состоит из трех звеньев (сторон треугольника). Найдем длину каждой стороны:

• Первое звено (левая сторона): смещение на 2 клетки по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L'_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ ед.

• Второе звено (верхняя-правая сторона): смещение на 2 клетки по горизонтали и на 1 клетку по вертикали. Длина $L'_2 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ед.

• Третье звено (нижняя сторона): смещение на 4 клетки по горизонтали и на 2 клетки по вертикали. Длина $L'_3 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ ед.

Общая длина второй ломаной (периметр треугольника) равна сумме длин ее сторон:
$L_{общ2} = L'_1 + L'_2 + L'_3 = \sqrt{13} + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{13} + 3\sqrt{5}$ ед.

Ответ: Длина первой (синей) ломаной равна $3\sqrt{10}$ условных единиц. Длина второй (розовой) ломаной равна $\sqrt{13} + 3\sqrt{5}$ условных единиц.

2) Сравни ломаные и их длины.

Сравнение ломаных

Ломаная 1 является незамкнутой ломаной линией. Ломаная 2 является замкнутой ломаной линией и представляет собой геометрическую фигуру — треугольник. Обе ломаные состоят из трех звеньев.

Сравнение длин

Нам нужно сравнить величины $L_{общ1} = 3\sqrt{10}$ и $L_{общ2} = \sqrt{13} + 3\sqrt{5}$. Чтобы выполнить точное сравнение без калькулятора, сравним квадраты этих длин.

Квадрат длины первой ломаной:
$(L_{общ1})^2 = (3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.

Квадрат длины второй ломаной:
$(L_{общ2})^2 = (\sqrt{13} + 3\sqrt{5})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 13 + 6\sqrt{65} + 45 = 58 + 6\sqrt{65}$.

Теперь сравним $90$ и $58 + 6\sqrt{65}$. Для этого вычтем $58$ из обеих частей неравенства:
$90 - 58$ ? $6\sqrt{65}$
$32$ ? $6\sqrt{65}$

Разделим обе части на 2:
$16$ ? $3\sqrt{65}$

Возведем обе части в квадрат:
$16^2$ ? $(3\sqrt{65})^2$
$256$ ? $9 \cdot 65$
$256 < 585$

Поскольку $256 < 585$, то и $16 < 3\sqrt{65}$, и $32 < 6\sqrt{65}$, и $90 < 58 + 6\sqrt{65}$.
Это означает, что $(L_{общ1})^2 < (L_{общ2})^2$. Так как длины являются положительными числами, то $L_{общ1} < L_{общ2}$.

Ответ: Ломаная 1 — незамкнутая, а ломаная 2 — замкнутая (треугольник). Длина второй ломаной ($\sqrt{13} + 3\sqrt{5}$ ед.) больше длины первой ломаной ($3\sqrt{10}$ ед.).