Страница 32, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. Длину ломаной можно узнать двумя способами.

1) Узнать длину каждого звена ломаной и найти сумму этих длин можно так: 5 + 3 + 3= 11 (см). А можно так:

2) Начертить прямую. С помощью циркуля отложить на прямой один за другим отрезки, равные по длине звеньям ломаной, и узнать длину всего получившегося отрезка (11 см). Сравни эти два способа: сколько измерений сделали в первом случае? во втором? Сделай вывод.

Проанализируем и сравним два способа нахождения длины ломаной, описанные в задаче.

Сколько измерений сделали в первом случае?

Первый способ заключается в измерении каждого звена ломаной по отдельности и последующем сложении полученных длин. Ломаная, показанная на рисунке, состоит из трёх звеньев. Следовательно, чтобы найти её общую длину этим способом, необходимо выполнить три измерения (по одному для каждого звена). В примере, данном в условии, это измерения длин 5 см, 3 см и 3 см, которые затем складываются: $5 + 3 + 3 = 11$ см.

Ответ: В первом случае было сделано 3 измерения.

Сколько измерений сделали во втором случае?

Второй способ заключается в том, чтобы последовательно отложить на прямой отрезки, равные по длине звеньям ломаной, с помощью циркуля. Циркуль используется для переноса длин, а не для их измерения в числовом виде. После того как все звенья отложены на прямой одно за другим, образуется один итоговый отрезок. Длину этого отрезка мы измеряем с помощью линейки всего один раз, чтобы получить конечный результат (в примере это 11 см).

Ответ: Во втором случае было сделано 1 измерение.

Сделай вывод.

Сравнивая эти два способа, можно заключить, что второй способ (с использованием циркуля и прямой) является более рациональным и эффективным. Во-первых, он требует значительно меньше измерений (в данном случае — одно вместо трёх). Каждое измерение может вносить погрешность, поэтому уменьшение их числа повышает точность результата. Во-вторых, он заменяет арифметическую операцию сложения геометрическим построением, что исключает возможность вычислительной ошибки. Таким образом, второй способ быстрее и менее подвержен ошибкам, особенно при работе с ломаными, состоящими из большого числа звеньев.

Ответ: Второй способ нахождения длины ломаной эффективнее, так как требует всего одного измерения и не нуждается в арифметических вычислениях, что снижает вероятность ошибки и экономит время.

1) Узнай длину каждой ломаной.

Для определения длины каждого отрезка (звена) ломаной линии будем использовать сетку. Примем сторону одной клетки сетки за 1 условную единицу (ед.). Так как каждое звено является диагональю прямоугольника, его длину можно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — это катеты, соответствующие смещению по горизонтали и вертикали в клетках.

Ломаная 1 (синяя)

Эта ломаная состоит из трех звеньев. Найдем длину каждого из них:

• Первое (верхнее) звено: смещение на 1 клетку по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L_1 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.

• Второе (среднее) звено: смещение на 1 клетку по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.

• Третье (нижнее) звено: смещение на 1 клетку по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L_3 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.

Общая длина первой ломаной равна сумме длин ее звеньев:
$L_{общ1} = L_1 + L_2 + L_3 = \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ ед.

Ломаная 2 (розовая)

Эта ломаная является замкнутой и образует треугольник. Она также состоит из трех звеньев (сторон треугольника). Найдем длину каждой стороны:

• Первое звено (левая сторона): смещение на 2 клетки по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Длина $L'_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ ед.

• Второе звено (верхняя-правая сторона): смещение на 2 клетки по горизонтали и на 1 клетку по вертикали. Длина $L'_2 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ед.

• Третье звено (нижняя сторона): смещение на 4 клетки по горизонтали и на 2 клетки по вертикали. Длина $L'_3 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ ед.

Общая длина второй ломаной (периметр треугольника) равна сумме длин ее сторон:
$L_{общ2} = L'_1 + L'_2 + L'_3 = \sqrt{13} + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{13} + 3\sqrt{5}$ ед.

Ответ: Длина первой (синей) ломаной равна $3\sqrt{10}$ условных единиц. Длина второй (розовой) ломаной равна $\sqrt{13} + 3\sqrt{5}$ условных единиц.

2) Сравни ломаные и их длины.

Сравнение ломаных

Ломаная 1 является незамкнутой ломаной линией. Ломаная 2 является замкнутой ломаной линией и представляет собой геометрическую фигуру — треугольник. Обе ломаные состоят из трех звеньев.

Сравнение длин

Нам нужно сравнить величины $L_{общ1} = 3\sqrt{10}$ и $L_{общ2} = \sqrt{13} + 3\sqrt{5}$. Чтобы выполнить точное сравнение без калькулятора, сравним квадраты этих длин.

Квадрат длины первой ломаной:
$(L_{общ1})^2 = (3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.

Квадрат длины второй ломаной:
$(L_{общ2})^2 = (\sqrt{13} + 3\sqrt{5})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 13 + 6\sqrt{65} + 45 = 58 + 6\sqrt{65}$.

Теперь сравним $90$ и $58 + 6\sqrt{65}$. Для этого вычтем $58$ из обеих частей неравенства:
$90 - 58$ ? $6\sqrt{65}$
$32$ ? $6\sqrt{65}$

Разделим обе части на 2:
$16$ ? $3\sqrt{65}$

Возведем обе части в квадрат:
$16^2$ ? $(3\sqrt{65})^2$
$256$ ? $9 \cdot 65$
$256 < 585$

Поскольку $256 < 585$, то и $16 < 3\sqrt{65}$, и $32 < 6\sqrt{65}$, и $90 < 58 + 6\sqrt{65}$.
Это означает, что $(L_{общ1})^2 < (L_{общ2})^2$. Так как длины являются положительными числами, то $L_{общ1} < L_{общ2}$.

Ответ: Ломаная 1 — незамкнутая, а ломаная 2 — замкнутая (треугольник). Длина второй ломаной ($\sqrt{13} + 3\sqrt{5}$ ед.) больше длины первой ломаной ($3\sqrt{10}$ ед.).

45 см 0 4 дм 5 см
Чтобы сравнить эти два значения, необходимо привести их к одной единице измерения. Удобнее всего перевести дециметры в сантиметры.
Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Переведем 4 дм 5 см в сантиметры:
$4 \text{ дм} 5 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 40 \text{ см} + 5 \text{ см} = 45 \text{ см}$.
Теперь сравним полученные значения: $45 \text{ см}$ и $45 \text{ см}$.
Они равны, следовательно, между значениями нужно поставить знак равенства.
Ответ: $45 \text{ см} = 4 \text{ дм} 5 \text{ см}$.

36 см 0 4 дм
Приведем значения к одной единице измерения – сантиметрам.
Используем соотношение: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Переведем 4 дм в сантиметры: $4 \text{ дм} = 4 \times 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.
Теперь сравним: $36 \text{ см}$ и $40 \text{ см}$.
Поскольку $36 < 40$, то $36 \text{ см} < 40 \text{ см}$.
Следовательно, между значениями нужно поставить знак "меньше".
Ответ: $36 \text{ см} < 4 \text{ дм}$.

1 дм 0 100 мм
Для сравнения переведем обе величины в одну единицу измерения, например, в миллиметры.
Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Тогда, чтобы перевести дециметры в миллиметры, нужно умножить на 100: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \frac{\text{мм}}{\text{см}} = 100 \text{ мм}$.
Сравниваем: $100 \text{ мм}$ и $100 \text{ мм}$.
Между значениями ставится знак равенства.
Ответ: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.

24 мм 0 3 см
Приведем значения к одной единице измерения – миллиметрам.
Используем соотношение: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Переведем 3 см в миллиметры: $3 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ мм} = 30 \text{ мм}$.
Теперь сравним: $24 \text{ мм}$ и $30 \text{ мм}$.
Поскольку $24 < 30$, то $24 \text{ мм} < 30 \text{ мм}$.
Следовательно, между значениями нужно поставить знак "меньше".
Ответ: $24 \text{ мм} < 3 \text{ см}$.

60 мм 0 60 см
Для сравнения переведем сантиметры в миллиметры.
Используем соотношение: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Переведем 60 см в миллиметры: $60 \text{ см} = 60 \times 10 \text{ мм} = 600 \text{ мм}$.
Теперь сравним: $60 \text{ мм}$ и $600 \text{ мм}$.
Поскольку $60 < 600$, то $60 \text{ мм} < 600 \text{ мм}$.
Следовательно, между значениями нужно поставить знак "меньше".
Ответ: $60 \text{ мм} < 60 \text{ см}$.

10 мм 0 1 см
Приведем сантиметры к миллиметрам для сравнения.
Основное соотношение: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Сравниваем: $10 \text{ мм}$ и $10 \text{ мм}$.
Значения равны.
Ответ: $10 \text{ мм} = 1 \text{ см}$.

1. Сделай к задаче рисунок и реши её. Детям раздали 12 орехов, по 3 ореха каждому. Сколько детей получили орехи?

Рисунок:

Изобразим 12 орехов в виде кружков. Так как каждому ребенку дали по 3 ореха, объединим кружки в группы по 3. Каждая группа соответствует одному ребенку.

( O O O ) ( O O O ) ( O O O ) ( O O O )
Ребенок 1 Ребенок 2 Ребенок 3 Ребенок 4

Из рисунка видно, что 12 орехов можно разделить на 4 равные группы. Следовательно, орехи получили 4 ребенка.

Решение:

Чтобы найти, сколько детей получили орехи, нужно общее количество орехов разделить на количество орехов, которое досталось каждому ребенку.

Общее количество орехов — 12.

Количество орехов у одного ребенка — 3.

Выполним действие деления:

$12 : 3 = 4$ (ребенка)

Ответ: 4 ребенка.

2. Прочитай выражения: 5 · 2, 4 · 3, 2 · 5, 3 · 4. Составь из них верные равенства и неравенства.

Для выполнения задания сначала вычислим значения каждого из предложенных выражений. Это поможет нам их сравнить.

• $5 \cdot 2 = 10$
• $4 \cdot 3 = 12$
• $2 \cdot 5 = 10$
• $3 \cdot 4 = 12$

Теперь, зная значения, мы можем составить верные равенства и неравенства.

Верные равенства

Равенство составляется из двух выражений, имеющих одинаковое значение. Они соединяются знаком «=».

На основе наших вычислений мы видим две пары выражений с одинаковыми результатами:

• Выражения $5 \cdot 2$ и $2 \cdot 5$ оба равны 10. Таким образом, мы можем составить верное равенство: $5 \cdot 2 = 2 \cdot 5$.
• Выражения $4 \cdot 3$ и $3 \cdot 4$ оба равны 12. Таким образом, мы можем составить второе верное равенство: $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4$.

Эти примеры также демонстрируют переместительное свойство умножения, которое гласит, что от перемены мест множителей произведение не изменяется.

Ответ: $5 \cdot 2 = 2 \cdot 5$; $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4$.

Верные неравенства

Неравенство составляется из двух выражений с разными значениями. Они соединяются знаками «<» (меньше) или «>» (больше).

Мы сравниваем выражения со значением 10 и выражения со значением 12.

Поскольку $10 < 12$, любое выражение со значением 10 будет меньше любого выражения со значением 12. Примеры:

• $5 \cdot 2 < 4 \cdot 3$
• $2 \cdot 5 < 3 \cdot 4$

Также, поскольку $12 > 10$, любое выражение со значением 12 будет больше любого выражения со значением 10. Примеры:

• $4 \cdot 3 > 5 \cdot 2$
• $3 \cdot 4 > 2 \cdot 5$

Ответ: Примеры верных неравенств: $5 \cdot 2 < 4 \cdot 3$; $4 \cdot 3 > 2 \cdot 5$; $2 \cdot 5 < 3 \cdot 4$; $3 \cdot 4 > 5 \cdot 2$.

3. В автобусе едут 72 пассажира. Из них 50 пассажиров сидят, а остальные стоят. Сколько пассажиров стоят? Составь и реши задачу, обратную данной.

Сколько пассажиров стоят?

Чтобы определить количество стоящих пассажиров, нужно из общего числа пассажиров в автобусе вычесть число пассажиров, которые сидят.

• Общее количество пассажиров: 72
• Количество сидящих пассажиров: 50

Выполняем вычитание:

$72 - 50 = 22$

Следовательно, в автобусе стоят 22 пассажира.

Ответ: 22 пассажира.

Составь и реши задачу, обратную данной.

Обратная задача — это такая задача, в которой искомое (ответ) изначальной задачи становится одним из условий, а одно из условий изначальной задачи становится искомым.

Условие обратной задачи:

В автобусе едут пассажиры. Известно, что 50 из них сидят, а 22 стоят. Сколько всего пассажиров в автобусе?

Решение обратной задачи:

Чтобы найти общее количество пассажиров, необходимо сложить количество сидящих и стоящих пассажиров.

$50 + 22 = 72$

Ответ: всего в автобусе 72 пассажира.

4. На теплоходе было 75 пассажиров. На пристани 25 пассажиров вышли, а 20 сели на теплоход. Сколько пассажиров стало на теплоходе?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных арифметических действия: вычитание и сложение.

1. Сначала определим, сколько пассажиров осталось на теплоходе после того, как 25 человек сошли на пристани. Для этого из первоначального количества пассажиров вычтем количество вышедших:

$75 - 25 = 50$ (пассажиров)

2. Теперь к получившемуся числу пассажиров (50) прибавим тех, кто сел на теплоход на пристани (20 человек):

$50 + 20 = 70$ (пассажиров)

Эту задачу также можно решить, составив одно числовое выражение:

$75 - 25 + 20 = 50 + 20 = 70$ (пассажиров)

Ответ: на теплоходе стало 70 пассажиров.

5. Вычисли и проверь решение.

76 + 18

Сначала выполним сложение. Чтобы сложить 76 и 18, можно сложить единицы, а затем десятки.
Единицы: $6 + 8 = 14$. Это 1 десяток и 4 единицы. 4 записываем, 1 десяток запоминаем.
Десятки: $7 + 1 = 8$. Прибавляем 1 десяток, который запомнили: $8 + 1 = 9$.
Результат: $76 + 18 = 94$.

Проверка решения. Чтобы проверить сложение, нужно из суммы вычесть одно из слагаемых.
$94 - 18 = 76$.
Поскольку мы получили второе слагаемое, решение верное.

Ответ: 94

76 – 18

Выполним вычитание. Чтобы вычесть 18 из 76, вычитаем единицы, а затем десятки.
Единицы: из 6 вычесть 8 нельзя. Занимаем 1 десяток у 7 (остается 6 десятков). $16 - 8 = 8$.
Десятки: $6 - 1 = 5$.
Результат: $76 - 18 = 58$.

Проверка решения. Чтобы проверить вычитание, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$58 + 18 = 76$.
Поскольку мы получили уменьшаемое, решение верное.

Ответ: 58

63 – 37

Выполним вычитание.
Единицы: из 3 вычесть 7 нельзя. Занимаем 1 десяток у 6 (остается 5 десятков). $13 - 7 = 6$.
Десятки: $5 - 3 = 2$.
Результат: $63 - 37 = 26$.

Проверка решения. Сложим разность и вычитаемое.
$26 + 37 = 63$.
Поскольку мы получили уменьшаемое, решение верное.

Ответ: 26

51 + 45

Выполним сложение.
Единицы: $1 + 5 = 6$.
Десятки: $5 + 4 = 9$.
Результат: $51 + 45 = 96$.

Проверка решения. Вычтем из суммы одно из слагаемых.
$96 - 45 = 51$.
Поскольку мы получили второе слагаемое, решение верное.

Ответ: 96

9 ? 2 ? 11

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок арифметических действий. Согласно правилам, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1. Первым действием выполним умножение:
$9 \cdot 2 = 18$
2. Вторым действием выполним вычитание, используя результат первого действия:
$18 - 11 = 7$

Ответ: 7

27 + 8

Это выражение представляет собой простое сложение двух чисел.
Для удобства можно разложить второе слагаемое (8) на две части (3 и 5), чтобы дополнить первое слагаемое (27) до круглого числа (30).
$27 + 8 = 27 + (3 + 5) = (27 + 3) + 5 = 30 + 5 = 35$
Таким образом, сумма чисел равна 35.

Ответ: 35

37 + (16 ? 9)

В этом выражении есть скобки. Порядок действий предписывает в первую очередь выполнять операции в скобках.
1. Выполним вычитание в скобках:
$16 - 9 = 7$
2. Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и выполним сложение:
$37 + 7 = 44$
Итоговый результат равен 44.

Ответ: 44

НАЙДИ ЛИШНЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ:

Чтобы найти лишнее выражение, необходимо проанализировать все четыре варианта и найти тот, который отличается от остальных по какому-либо признаку.

Даны следующие выражения:

1. $2+2+2+2$

2. $3+3+3+3$

3. $3+3+2+4$

4. $4+4+4$

Рассмотрим два возможных способа решения: по структуре выражений и по их значению.

Анализ по структуре выражений

Этот метод заключается в поиске общего свойства в построении выражений.

- Выражение $2+2+2+2$ является суммой четырех одинаковых слагаемых (числа 2). Такую сумму можно заменить умножением: $2 \times 4$.

- Выражение $3+3+3+3$ является суммой четырех одинаковых слагаемых (числа 3). Его также можно заменить умножением: $3 \times 4$.

- Выражение $4+4+4$ является суммой трех одинаковых слагаемых (числа 4). Его можно заменить умножением: $4 \times 3$.

- Выражение $3+3+2+4$ является суммой разных слагаемых (числа 3, 2 и 4). Его нельзя представить в виде простого произведения, как остальные.

По этому признаку выражения 1, 2 и 4 однотипны, а выражение 3 от них отличается. Следовательно, выражение $3+3+2+4$ является лишним.

Анализ по значению выражений

Этот метод заключается в вычислении результата каждого выражения и сравнении полученных сумм.

- $2+2+2+2 = 8$

- $3+3+3+3 = 12$

- $3+3+2+4 = 6+6 = 12$

- $4+4+4 = 12$

По этому признаку значения выражений 2, 3 и 4 равны 12, а значение выражения 1 равно 8. В этом случае лишним является выражение $2+2+2+2$.

Вывод

В математических задачах такого типа, особенно для младших классов, чаще всего важна логика, связанная со структурой выражения, а не только с результатом вычислений. Три из четырех выражений демонстрируют принцип замены сложения одинаковых слагаемых умножением. Выражение $3+3+2+4$ единственное нарушает эту закономерность. Поэтому оно является наиболее подходящим ответом.

Ответ: Лишним является выражение $3+3+2+4$, так как во всех остальных выражениях все слагаемые одинаковы.

8 · 3 + 16
Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. В первую очередь выполняется умножение, а затем сложение.
1. Выполняем умножение: $8 \cdot 3 = 24$.
2. К полученному результату прибавляем 16: $24 + 16 = 40$.
Ответ: 40

53 – 6
Это простое арифметическое действие на вычитание.
Выполняем вычитание 6 из 53: $53 - 6 = 47$.
Ответ: 47

35 + (11 – 6)
В этом выражении, согласно правилам порядка выполнения действий, операция в скобках выполняется в первую очередь.
1. Выполняем вычитание в скобках: $11 - 6 = 5$.
2. Затем выполняем сложение: $35 + 5 = 40$.
Ответ: 40