Номер 5, страница 93, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник Оспанова, Астамбаева

5. Впиши в пустые клетки числа от $\text{1}$ до $13$, чтобы сумма чисел и по вертикали, и по горизонтали была равна $25$. Не используй уже записанные числа.

Для решения задачи обозначим пустые клетки переменными. В головоломке 8 пустых клеток.

Структура головоломки и условия:

• Есть один горизонтальный ряд из 5 клеток: `[3] [A] [5] [B] [1]`.
• Есть три вертикальных столбца:
  • Левый столбец из 3 клеток: `[C] [D] [3]`.
  • Средний столбец из 4 клеток: `[E] [F] [5] [2]`.
  • Правый столбец из 3 клеток: `[G] [H] [1]`.
• Сумма чисел в каждом ряду и столбце должна быть равна 25.
• В пустые клетки `A, B, C, D, E, F, G, H` нужно вписать числа из диапазона от 1 до 13, не используя уже данные числа `1, 2, 3, 5`.

1. Составление уравнений

Исходя из условия, что сумма в каждом направлении равна 25, составим уравнения для каждой линии:

• Горизонтальный ряд: $3 + A + 5 + B + 1 = 25$

  $A + B + 9 = 25$

  $A + B = 16$

• Левый столбец: $C + D + 3 = 25$

  $C + D = 22$

• Средний столбец: $E + F + 5 + 2 = 25$

  $E + F + 7 = 25$

  $E + F = 18$

• Правый столбец: $G + H + 1 = 25$

  $G + H = 24$

2. Определение набора доступных чисел

Нам нужно вписать 8 чисел в пустые клетки. Эти числа должны быть из множества от 1 до 13, за исключением уже использованных: 1, 2, 3, 5.

Набор доступных чисел (S): ${4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}$.

В этом наборе 9 чисел.

3. Анализ возможности решения с различными числами

Предположим, что все 8 чисел, которые мы вписываем, должны быть различными. Это стандартное предположение для таких головоломок. В этом случае мы должны выбрать 8 из 9 доступных чисел из набора S.

Сложим все наши уравнения:

$(A + B) + (C + D) + (E + F) + (G + H) = 16 + 22 + 18 + 24 = 80$

Сумма восьми различных чисел, которые мы должны вписать, равна 80.

Теперь найдем сумму всех 9 чисел в нашем наборе доступных чисел S:

$4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 80$

Получается противоречие. Чтобы сумма 8 чисел из набора S была равна 80, мы должны были бы исключить из набора S число, равное 0 ($80 - x = 80 \Rightarrow x=0$). Но числа 0 нет в нашем наборе.

Это доказывает, что невозможно решить задачу, используя 8 различных чисел из доступного набора.

4. Решение с повторяющимися числами

Поскольку в условии задачи не сказано, что вписываемые числа должны быть различными, мы можем предположить, что повторения допускаются. Найдем такой набор из 8 чисел (с возможными повторениями) из S, который удовлетворяет уравнениям.

Как мы показали, сумма 8 чисел должна быть 80. Если мы используем 7 различных чисел из S и одно из них повторяем, то сумма этих 8 чисел будет $n_1 + n_2 + ... + n_7 + n_k = 80$, где $n_k$ — одно из чисел $n_1, ..., n_7$. Также мы знаем, что сумма 9 чисел в S равна 80. Если мы не используем два числа $\text{x}$ и $\text{y}$ из S, то сумма оставшихся семи будет $80 - x - y$. Тогда $80 - x - y + n_k = 80$, что означает $n_k = x + y$.

Нам нужно найти в наборе S три числа, где одно является суммой двух других. Например, числа 4, 6 и 10 ($4+6=10$).

Пусть неиспользуемыми числами будут 4 и 6, а повторяющимся числом будет 10.

Тогда набор чисел для заполнения клеток: $S \setminus \{4, 6\} \cup \{10\} = \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\} \cup \{10\} = \{7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13\}$.

Теперь распределим эти числа по парам согласно уравнениям:

• $G + H = 24$: Из нашего набора подходит пара $11 + 13$.
• $C + D = 22$: Подходит пара $10 + 12$.
• $E + F = 18$: Подходит пара $8 + 10$.
• $A + B = 16$: Подходит пара $7 + 9$.

Все числа из нашего набора $\{7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13\}$ были использованы. Решение найдено.

Теперь заполним пустые клетки. Порядок чисел в парах не важен.

• В две пустые клетки горизонтального ряда (A, B) вписываем числа 7 и 9.
• В пустые клетки левого столбца (C, D) вписываем числа 10 и 12.
• В пустые клетки среднего столбца (E, F) вписываем числа 8 и 10.
• В пустые клетки правого столбца (G, H) вписываем числа 11 и 13.

Проверим суммы:

• Горизонтальный ряд: $3 + 7 + 5 + 9 + 1 = 25$
• Левый столбец: $10 + 12 + 3 = 25$
• Средний столбец: $8 + 10 + 5 + 2 = 25$
• Правый столбец: $11 + 13 + 1 = 25$

Все условия выполнены.

Ответ: