Номер 3, страница 8, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

3 Отметь в тетради по клеткам точки E, M, F и K. Проведи прямые EF и MK. Обозначь их точку пересечения буквой O.

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение на клетчатой бумаге, как указано в условии. Решение можно найти двумя способами: графическим (путем построения) и аналитическим (с помощью уравнений).

Графический способ

1. Построение точек. Возьмите тетрадь в клетку или лист бумаги и нарисуйте точки E, M, F, K в том же взаимном расположении, как на рисунке в задании. Удобно ввести систему координат. Если принять узел сетки, где находится точка E, за начало отсчета с координатами $(1, 1)$, то остальные точки будут иметь следующие координаты: M(2, 4), F(5, 4) и K(7, 1).

2. Проведение прямых. С помощью линейки аккуратно проведите прямую линию, проходящую через точки E и F. Продлите ее в обе стороны. Затем так же проведите прямую линию через точки M и K.

3. Нахождение точки пересечения. Две построенные прямые пересекутся в одной точке. Обозначьте эту точку буквой O. При точном построении можно заметить, что точка O находится на горизонтальной линии, проходящей через 3 деления по вертикали, а по горизонтали ее положение — между 3 и 4 делениями.

Иллюстрация графического решения:

Аналитический способ (для проверки)

Этот способ позволяет найти точные координаты точки пересечения с помощью алгебры. Примем координаты точек, как в графическом способе: $E(1, 1)$, $M(2, 4)$, $F(5, 4)$, $K(7, 1)$.

1. Уравнение прямой EF. Найдем уравнение прямой вида $y = kx + b$, проходящей через точки $E(1, 1)$ и $F(5, 4)$.
Сначала вычислим угловой коэффициент (наклон) $k_{EF}$:
$k_{EF} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{5 - 1} = \frac{3}{4}$
Теперь подставим координаты точки $E(1, 1)$ в уравнение $y = \frac{3}{4}x + b$, чтобы найти $b$:
$1 = \frac{3}{4} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Уравнение прямой $EF$ имеет вид: $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$.

2. Уравнение прямой MK. Аналогично найдем уравнение прямой, проходящей через точки $M(2, 4)$ и $K(7, 1)$.
Угловой коэффициент $k_{MK}$:
$k_{MK} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 4}{7 - 2} = -\frac{3}{5}$
Подставим координаты точки $M(2, 4)$ в уравнение $y = -\frac{3}{5}x + b$ для нахождения $b$:
$4 = -\frac{3}{5} \cdot 2 + b \Rightarrow 4 = -\frac{6}{5} + b \Rightarrow b = 4 + \frac{6}{5} = \frac{20+6}{5} = \frac{26}{5}$
Уравнение прямой $MK$: $y = -\frac{3}{5}x + \frac{26}{5}$.

3. Координаты точки пересечения O. В точке пересечения $O$ значения $x$ и $y$ для обеих прямых совпадают. Приравняем правые части их уравнений:
$\frac{3}{4}x + \frac{1}{4} = -\frac{3}{5}x + \frac{26}{5}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 20 (наименьшее общее кратное 4 и 5):
$20 \cdot (\frac{3}{4}x) + 20 \cdot (\frac{1}{4}) = 20 \cdot (-\frac{3}{5}x) + 20 \cdot (\frac{26}{5})$
$15x + 5 = -12x + 104$
$15x + 12x = 104 - 5$
$27x = 99$
$x = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}$
Теперь найдем $y$, подставив $x = \frac{11}{3}$ в уравнение прямой $EF$:
$y = \frac{3}{4} \cdot (\frac{11}{3}) + \frac{1}{4} = \frac{11}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Точные координаты точки пересечения $O$ равны $(\frac{11}{3}, 3)$, что приблизительно равно $(3.67, 3)$. Это подтверждает результат, полученный графическим способом.

Ответ: Чтобы решить задачу, нужно начертить на клетчатой бумаге точки E, M, F, K в соответствии с их положением на рисунке. Затем с помощью линейки провести прямую через точки E и F, и вторую прямую — через точки M и K. Точка, в которой эти две прямые пересекутся, и будет искомой точкой O. Графическое построение и аналитический расчет показывают, что точка пересечения O имеет координаты $(\frac{11}{3}, 3)$.