Номер 8, страница 16, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Дорофеев, Миракова

Часть 1. Числа от 0 до 100. Нумерация. Сложение и вычитание. Повторение - номер 8, страница 16.

Условие.

8 Четыре кота — Васька, Пушок, Базилио и Леопольд — охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали вместе столько мышей, сколько Базилио с Васькой. ($P + L = B + V$). Васька поймал мышей больше, чем Базилио ($V > B$), но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок с Базилио ($V + L < P + B$). Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 4 мыши? ($P = 4$)

Решение 1.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество мышей, пойманных каждым котом:

• $В$ — количество мышей, пойманных Васькой;
• $П$ — количество мышей, пойманных Пушком;
• $Б$ — количество мышей, пойманных Базилио;
• $Л$ — количество мышей, пойманных Леопольдом.

Из условия задачи составим систему уравнений и неравенств. Количество мышей — это целое неотрицательное число.

1. Пушок с Леопольдом поймали столько же, сколько Базилио с Васькой: $П + Л = Б + В$.
2. Васька поймал больше, чем Базилио: $В > Б$.
3. Васька с Леопольдом поймали меньше, чем Пушок с Базилио: $В + Л < П + Б$.
4. Пушок поймал 4 мыши: $П = 4$.

Подставим известное значение $П = 4$ в систему:

$4 + Л = Б + В$ (1)

$В > Б$ (2)

$В + Л < 4 + Б$ (3)

Теперь преобразуем полученные выражения. Сложим уравнение (1) и неравенство (3):

$(4 + Л) + (В + Л) < (Б + В) + (4 + Б)$

$4 + В + 2Л < 4 + В + 2Б$

Вычитая из обеих частей $4 + В$, получаем:

$2Л < 2Б$, что равносильно $Л < Б$.

Теперь вычтем из левой и правой частей уравнения (1) левую и правую части неравенства (3). При вычитании неравенства его знак меняется на противоположный:

$(4 + Л) - (В + Л) > (Б + В) - (4 + Б)$

$4 - В > В - 4$

$8 > 2В$, что равносильно $В < 4$.

Мы получили два ключевых неравенства: $Л < Б$ и $В < 4$. Теперь мы можем решить задачу методом перебора, учитывая, что все переменные — целые неотрицательные числа.

Из неравенств $В < 4$ и $В > Б \ge 0$ следует, что $В$ может принимать значения 1, 2 или 3.

• Если $В = 1$:
  Из $В > Б$ следует, что $Б=0$. Подставим в уравнение (1): $4 + Л = 0 + 1 \Rightarrow Л = -3$. Это невозможно, так как количество мышей не может быть отрицательным.
• Если $В = 2$:
  Из $В > Б$ следует, что $Б$ может быть 0 или 1. Из уравнения (1) получаем: $4 + Л = Б + 2 \Rightarrow Л = Б - 2$. Если $Б=1$, то $Л = 1 - 2 = -1$ (невозможно). Если $Б=0$, то $Л = 0 - 2 = -2$ (невозможно).
• Если $В = 3$:
  Из $В > Б$ следует, что $Б$ может быть 0, 1 или 2. Из уравнения (1) получаем: $4 + Л = Б + 3 \Rightarrow Л = Б - 1$. Проверим возможные значения $Б$:
  • Если $Б=2$: $Л = 2 - 1 = 1$. Проверяем условие $Л < Б$: $1 < 2$. Верно. Это возможное решение.
  • Если $Б=1$: $Л = 1 - 1 = 0$. Проверяем условие $Л < Б$: $0 < 1$. Верно. Это тоже возможное решение.
  • Если $Б=0$: $Л = 0 - 1 = -1$ (невозможно).

Таким образом, мы нашли два набора чисел, которые могут быть решением задачи. Проверим их, подставив в исходные условия.

Проверка решения 1:
Пушок ($П$) = 4, Васька ($В$) = 3, Базилио ($Б$) = 2, Леопольд ($Л$) = 1.
1. $П + Л = Б + В \Rightarrow 4 + 1 = 2 + 3 \Rightarrow 5 = 5$ (Верно).
2. $В > Б \Rightarrow 3 > 2$ (Верно).
3. $В + Л < П + Б \Rightarrow 3 + 1 < 4 + 2 \Rightarrow 4 < 6$ (Верно).
Этот набор чисел является решением.

Проверка решения 2:
Пушок ($П$) = 4, Васька ($В$) = 3, Базилио ($Б$) = 1, Леопольд ($Л$) = 0.
1. $П + Л = Б + В \Rightarrow 4 + 0 = 1 + 3 \Rightarrow 4 = 4$ (Верно).
2. $В > Б \Rightarrow 3 > 1$ (Верно).
3. $В + Л < П + Б \Rightarrow 3 + 0 < 4 + 1 \Rightarrow 3 < 5$ (Верно).
Этот набор чисел также является решением.

Так как в условии задачи не сказано, что каждый кот поймал хотя бы одну мышь, оба решения являются математически правильными. Однако в подобных задачах чаще всего предполагается, что все участники были успешны, что делает первый вариант более вероятным ответом, который задумывался автором. Тем не менее, строго математически задача имеет два решения.

Ответ: Существует два возможных решения задачи:1. Пушок поймал 4 мыши, Васька — 3, Базилио — 2, а Леопольд — 1.2. Пушок поймал 4 мыши, Васька — 3, Базилио — 1, а Леопольд — 0.