Номер 3, страница 103, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Страничка для любознательных. Доли. ч. 1 - номер 3, страница 103.

3. Оставляя на местах числа 13, 15 и 5 в квадрате 2, расставь в его пустые клетки числа 3, 7, 9, 11, 17, 19 так, чтобы получить магический квадрат.

Для решения этой задачи нужно составить магический квадрат размером 3x3. В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны. Эта сумма называется магической константой.

1. Определение набора чисел и магической константы

Сначала определим полный набор чисел для квадрата. По условию, в квадрате уже есть числа 13, 15 и 5. Для заполнения пустых клеток даны числа 3, 7, 9, 11, 17, 19. Объединив эти два набора, мы получаем полный набор из 9 чисел для квадрата 3x3:

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

Теперь найдем магическую константу (M). Для этого сначала вычислим сумму всех чисел в наборе (S):

$S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 99$

Магическая константа для квадрата 3x3 — это общая сумма, деленная на 3 (по числу строк/столбцов):

$M = S / 3 = 99 / 3 = 33$

Таким образом, сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна 33.

2. Построение магического квадрата

В магическом квадрате 3x3, составленном из чисел, образующих арифметическую прогрессию (как в нашем случае), в центральной ячейке всегда находится средний член этой прогрессии. В нашем наборе {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} средним числом является 11. Следовательно, 11 должно находиться в центре квадрата.

Еще одно важное свойство такого квадрата: сумма двух чисел, расположенных симметрично относительно центра, равна удвоенному центральному числу: $2 \times 11 = 22$. Проверим наши пары чисел:

• $3 + 19 = 22$
• $5 + 17 = 22$
• $7 + 15 = 22$
• $9 + 13 = 22$

Теперь мы можем приступить к расстановке чисел. Поместим 11 в центр. Затем расставим пары чисел симметрично. Существует несколько возможных решений, которые являются поворотами и отражениями друг друга. Найдем одно из них.

Попробуем расположить одну из пар, например (3, 19), в среднем столбце вместе с центральным числом 11. Их сумма $3 + 11 + 19 = 33$, что соответствует магической константе.

Теперь заполним первую строку. В ней уже есть число 3. Сумма чисел в этой строке должна быть 33, значит, два крайних числа должны в сумме давать $33 - 3 = 30$. Из оставшихся чисел {5, 7, 9, 13, 15, 17} нам нужно найти два, которые в сумме дают 30. Такой парой является 17 и 13. Расположим их в первой строке.

Используя свойство симметрии, заполним оставшиеся ячейки. Напротив 17 должна стоять 5 (т.к. $17+5=22$). Напротив 13 должна стоять 9 (т.к. $13+9=22$). Оставшаяся пара (7, 15) займет пустые места в средней строке, так как $7+15=22$. В итоге получаем следующий квадрат:

17	3	13
7	11	15
9	19	5

3. Проверка решения

Проверим суммы по строкам, столбцам и диагоналям, чтобы убедиться, что квадрат является магическим:

• Строки:
  • $17 + 3 + 13 = 33$
  • $7 + 11 + 15 = 33$
  • $9 + 19 + 5 = 33$
• Столбцы:
  • $17 + 7 + 9 = 33$
  • $3 + 11 + 19 = 33$
  • $13 + 15 + 5 = 33$
• Диагонали:
  • $17 + 11 + 5 = 33$
  • $13 + 11 + 9 = 33$

Все условия выполнены. Числа 13, 15 и 5 находятся в квадрате, а остальные числа из списка расставлены в пустые клетки, образуя магический квадрат.

Ответ:

17	3	13
7	11	15
9	19	5