Номер 17, страница 45, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 15. Разбиение множеств на части по свойствам (классификация). Часть 1 - номер 17, страница 45.

Условие 2024.

17* Расположи 5 элементов на диаграммах множеств A и B так, чтобы в каждом из этих множеств было соответственно:

а) 2 и 4 элемента;

б) по 4 элемента;

в) 4 и 5 элементов;

г) по 5 элементов;

д) 3 и 2 элемента;

е) по 3 элемента.

Решение 2 (2024).

Для решения задачи обозначим через $x$ количество элементов, которые принадлежат только множеству A ($A \setminus B$), через $y$ — количество элементов, принадлежащих пересечению множеств A и B ($A \cap B$), и через $z$ — количество элементов, которые принадлежат только множеству B ($B \setminus A$). Общее количество элементов, которое нужно расположить, равно 5. Таким образом, для всех случаев должно выполняться равенство $x + y + z = 5$. Также, количество элементов в множестве A равно $|A| = x + y$, а в множестве B — $|B| = y + z$.

а) В множестве A должно быть 2 элемента, а в B — 4.
Составим систему уравнений:
$x + y = 2$
$y + z = 4$
$x + y + z = 5$
Подставим первое уравнение в третье: $(x + y) + z = 5 \Rightarrow 2 + z = 5 \Rightarrow z = 3$.
Теперь подставим значение $z$ во второе уравнение: $y + 3 = 4 \Rightarrow y = 1$.
Наконец, подставим значение $y$ в первое уравнение: $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$.
Получаем: 1 элемент только в A, 1 элемент в пересечении, 3 элемента только в B.
Ответ: В область, принадлежащую только множеству A, поместить 1 элемент; в область пересечения $A \cap B$ — 1 элемент; в область, принадлежащую только множеству B, — 3 элемента.

б) В каждом множестве должно быть по 4 элемента.
Система уравнений:
$x + y = 4$
$y + z = 4$
$x + y + z = 5$
Подставим первое уравнение в третье: $(x + y) + z = 5 \Rightarrow 4 + z = 5 \Rightarrow z = 1$.
Подставим $z = 1$ во второе уравнение: $y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3$.
Подставим $y = 3$ в первое уравнение: $x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1$.
Получаем: 1 элемент только в A, 3 элемента в пересечении, 1 элемент только в B.
Ответ: В область, принадлежащую только множеству A, поместить 1 элемент; в область пересечения $A \cap B$ — 3 элемента; в область, принадлежащую только множеству B, — 1 элемент.

в) В множестве A — 4 элемента, в B — 5.
Система уравнений:
$x + y = 4$
$y + z = 5$
$x + y + z = 5$
Подставим второе уравнение в третье: $x + (y + z) = 5 \Rightarrow x + 5 = 5 \Rightarrow x = 0$.
Подставим $x = 0$ в первое уравнение: $0 + y = 4 \Rightarrow y = 4$.
Подставим $y = 4$ во второе уравнение: $4 + z = 5 \Rightarrow z = 1$.
Получаем: 0 элементов только в A, 4 элемента в пересечении, 1 элемент только в B (множество A является подмножеством B).
Ответ: В область, принадлежащую только множеству A, не помещать ни одного элемента; в область пересечения $A \cap B$ — 4 элемента; в область, принадлежащую только множеству B, — 1 элемент.

г) В каждом множестве по 5 элементов.
Система уравнений:
$x + y = 5$
$y + z = 5$
$x + y + z = 5$
Подставим первое уравнение в третье: $(x + y) + z = 5 \Rightarrow 5 + z = 5 \Rightarrow z = 0$.
Подставим $z = 0$ во второе уравнение: $y + 0 = 5 \Rightarrow y = 5$.
Подставим $y = 5$ в первое уравнение: $x + 5 = 5 \Rightarrow x = 0$.
Получаем: 0 элементов только в A, 5 элементов в пересечении, 0 элементов только в B (множества A и B равны).
Ответ: В области, принадлежащие только множеству A или только множеству B, не помещать ни одного элемента; все 5 элементов поместить в область пересечения $A \cap B$.

д) В множестве A — 3 элемента, в B — 2.
Система уравнений:
$x + y = 3$
$y + z = 2$
$x + y + z = 5$
Подставим первое уравнение в третье: $(x + y) + z = 5 \Rightarrow 3 + z = 5 \Rightarrow z = 2$.
Подставим $z = 2$ во второе уравнение: $y + 2 = 2 \Rightarrow y = 0$.
Подставим $y = 0$ в первое уравнение: $x + 0 = 3 \Rightarrow x = 3$.
Получаем: 3 элемента только в A, 0 элементов в пересечении, 2 элемента только в B (множества не пересекаются).
Ответ: В область, принадлежащую только множеству A, поместить 3 элемента; в область пересечения $A \cap B$ — 0 элементов; в область, принадлежащую только множеству B, — 2 элемента.

е) В каждом множестве по 3 элемента.
Система уравнений:
$x + y = 3$
$y + z = 3$
$x + y + z = 5$
Подставим первое уравнение в третье: $(x + y) + z = 5 \Rightarrow 3 + z = 5 \Rightarrow z = 2$.
Подставим $z = 2$ во второе уравнение: $y + 2 = 3 \Rightarrow y = 1$.
Подставим $y = 1$ в первое уравнение: $x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
Получаем: 2 элемента только в A, 1 элемент в пересечении, 2 элемента только в B.
Ответ: В область, принадлежащую только множеству A, поместить 2 элемента; в область пересечения $A \cap B$ — 1 элемент; в область, принадлежащую только множеству B, — 2 элемента.

Условие 2020-2022.

17* Расположи 5 элементов на диаграммах множеств $A$ и $B$ так, чтобы в каждом из этих множеств было соответственно:

a) 2 и 4 элемента;

б) по 4 элемента;

в) 4 и 5 элементов;

г) по 5 элементов;

д) 3 и 2 элемента;

е) по 3 элемента.

Решение 2020-2022.