Номер 15, страница 27, часть 3 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Часть 3. Урок 9. Умножение на двузначное число - номер 15, страница 27.

Условие 2024.

14 Запиши множество делителей и множество кратных числа 21.

15* Расположи 9 элементов в 3 множествах так, чтобы в одном из них было 2 элемента, в другом — 5 элементов, а в третьем — 7 элементов. Сколько различных решений этой задачи ты сможешь найти?

Решение 2 (2024).

Запиши множество делителей и множество кратных числа 21.

Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 21, нужно найти все целые числа, на которые 21 делится нацело.

$21 : 1 = 21$

$21 : 3 = 7$

$21 : 7 = 3$

$21 : 21 = 1$

Таким образом, множество делителей числа 21, обозначаемое $D(21)$, есть $\{1, 3, 7, 21\}$.

Кратное числу — это число, которое само делится на данное число без остатка. Множество кратных для любого натурального числа является бесконечным. Чтобы найти кратные числа 21, нужно умножить 21 на натуральные числа (1, 2, 3 и т.д.).

$21 \cdot 1 = 21$

$21 \cdot 2 = 42$

$21 \cdot 3 = 63$

Таким образом, множество кратных числа 21, обозначаемое $K(21)$, начинается с чисел $\{21, 42, 63, 84, ...\}$.

Ответ: Множество делителей числа 21: $\{1, 3, 7, 21\}$. Множество кратных числа 21: $\{21, 42, 63, ...\}$.

Расположи 9 элементов в 3 множествах так, чтобы в одном из них было 2 элемента, в другом — 5 элементов, а в третьем — 7 элементов. Сколько различных решений этой задачи ты сможешь найти?

Пусть у нас есть три множества: A, B и C. По условию, общее количество уникальных элементов в их объединении равно 9, а мощности множеств (количество элементов в них) составляют $|A|=2$, $|B|=5$ и $|C|=7$.

Для нахождения числа решений необходимо определить, сколькими способами можно распределить элементы по 7 непересекающимся областям диаграммы Венна. Обозначим количество элементов в этих областях переменными: $x_A$ (только в A), $x_B$ (только в B), $x_C$ (только в C), $x_{AB}$ (в A и B, но не C), $x_{AC}$ (в A и C, но не B), $x_{BC}$ (в B и C, но не A) и $x_{ABC}$ (во всех трех множествах).

Составим систему уравнений, где все переменные — целые неотрицательные числа:
1. Общее число элементов: $|A \cup B \cup C| = x_A + x_B + x_C + x_{AB} + x_{AC} + x_{BC} + x_{ABC} = 9$
2. Мощность множества A: $|A| = x_A + x_{AB} + x_{AC} + x_{ABC} = 2$
3. Мощность множества B: $|B| = x_B + x_{AB} + x_{BC} + x_{ABC} = 5$
4. Мощность множества C: $|C| = x_C + x_{AC} + x_{BC} + x_{ABC} = 7$

Используя формулу включений-исключений, $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$, и подставив известные значения, получим: $9 = 2 + 5 + 7 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$. После преобразований получаем ключевое уравнение для областей пересечений: $x_{AB} + x_{AC} + x_{BC} + 2x_{ABC} = 5$.

Из уравнений для мощностей множеств также следуют ограничения. Например, для множества A: $x_A = 2 - (x_{AB} + x_{AC} + x_{ABC}) \ge 0$, что означает $x_{AB} + x_{AC} + x_{ABC} \le 2$.

Решим задачу, перебирая возможные значения для $x_{ABC}$. Из уравнения $x_{AB} + x_{AC} + x_{BC} + 2x_{ABC} = 5$ следует, что $x_{ABC}$ может быть равен 0, 1 или 2.

Случай 1: $x_{ABC} = 2$. Тогда $x_{AB} + x_{AC} + x_{BC} = 1$. Ограничение для A: $x_{AB} + x_{AC} + 2 \le 2 \implies x_{AB} + x_{AC} = 0$, откуда $x_{AB}=0, x_{AC}=0$. Следовательно, $x_{BC}=1$. Это дает одно решение: $x_A=0, x_B=2, x_C=4, x_{AB}=0, x_{AC}=0, x_{BC}=1, x_{ABC}=2$.

Случай 2: $x_{ABC} = 1$. Тогда $x_{AB} + x_{AC} + x_{BC} = 3$. Ограничение для A: $x_{AB} + x_{AC} + 1 \le 2 \implies x_{AB} + x_{AC} \le 1$.
Возможны три комбинации для $(x_{AB}, x_{AC}, x_{BC})$:
- $(0, 0, 3)$, что дает $x_A=1, x_B=1, x_C=3$.
- $(1, 0, 2)$, что дает $x_A=0, x_B=1, x_C=4$.
- $(0, 1, 2)$, что дает $x_A=0, x_B=2, x_C=3$.
Всего три решения.

Случай 3: $x_{ABC} = 0$. Тогда $x_{AB} + x_{AC} + x_{BC} = 5$. Ограничение для A: $x_{AB} + x_{AC} \le 2$.
Переберем комбинации, удовлетворяющие этому условию:
- Если $x_{AB} + x_{AC} = 0$ (т.е. $x_{AB}=0, x_{AC}=0$), то $x_{BC}=5$. Получаем 1 решение.
- Если $x_{AB} + x_{AC} = 1$ (пары $(1,0)$ и $(0,1)$), то $x_{BC}=4$. Это дает 2 решения.
- Если $x_{AB} + x_{AC} = 2$ (пары $(2,0), (1,1), (0,2)$), то $x_{BC}=3$. Это дает 3 решения.
Всего $1+2+3 = \textbf{шесть решений}$.

Суммируя количество решений для каждого случая, получаем общее количество: $1 + 3 + 6 = 10$.

Ответ: Можно найти 10 различных решений.

Условие 2020-2022.

15* Расположи 9 элементов в 3 множествах так, чтобы в одном из них было 2 элемента, в другом — 5 элементов, а в третьем — 7 элементов. Сколько различных решений этой задачи ты сможешь найти?

Решение 2020-2022.