Номер 8, страница 118, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

8 Вычисли в квадратных сантиметрах площадь закрашенной фигуры. Выполни задание разными способами.

Способ 1: По формуле площади ромба (квадрата) через диагонали

Диагонали ромба равны $d_1 = 8$ см и $d_2 = 8$ см.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = \frac{64}{2} = 32$ см$^2$.

Способ 2: Вычитание площади угловых треугольников из площади описанного квадрата

Закрашенная фигура вписана в квадрат со стороной 8 см.

Площадь описанного квадрата $S_{\text{квадрата}} = 8 \cdot 8 = 64$ см$^2$.

По углам описанного квадрата образовались 4 одинаковых прямоугольных треугольника, каждый с катетами 4 см.

Площадь одного такого треугольника $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8$ см$^2$.

Общая площадь четырех угловых треугольников $S_{\text{4 треугольников}} = 4 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S = S_{\text{квадрата}} - S_{\text{4 треугольников}} = 64 - 32 = 32$ см$^2$.

Способ 3: Разделение фигуры на два треугольника

Закрашенную фигуру можно разделить на два одинаковых треугольника, проведя горизонтальную или вертикальную диагональ.

Возьмем, например, горизонтальную диагональ как основание. Длина основания каждого треугольника будет 8 см, а высота каждого треугольника будет 4 см.

Площадь одного треугольника $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{2} = 16$ см$^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S = 2 \cdot S_{\text{треугольника}} = 2 \cdot 16 = 32$ см$^2$.

Для решения задачи необходимо определить масштаб сетки. Стандартная тетрадная клетка имеет сторону 0,5 см. Примем этот масштаб. Тогда площадь одной клетки составляет $0,5 \text{ см} \times 0,5 \text{ см} = 0,25 \text{ см}^2$.

Способ 1: Использование формулы площади ромба

Закрашенная фигура является ромбом (а также квадратом), площадь которого можно найти через его диагонали по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Измерим диагонали фигуры по клеткам. Горизонтальная диагональ $d_1$ равна 10 клеткам. Вертикальная диагональ $d_2$ также равна 10 клеткам.

Переведем длины диагоналей в сантиметры: $d_1 = 10 \times 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$, $d_2 = 10 \times 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \times 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = \frac{25}{2} \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $12,5 \text{ см}^2$.

Способ 2: Метод достраивания до квадрата

Опишем вокруг закрашенной фигуры большой квадрат, стороны которого идут вдоль линий сетки. Сторона этого квадрата будет равна 10 клеткам, или $10 \times 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Площадь большого квадрата равна $S_{большой} = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$.

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади большого квадрата вычесть площади четырех одинаковых прямоугольных треугольников, расположенных по углам. Катеты каждого такого треугольника равны 5 клеткам, или $5 \times 0,5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

Площадь одного углового треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \times 2,5 \text{ см} \times 2,5 \text{ см} = 3,125 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь четырех треугольников: $S_{4 \times треуг} = 4 \times 3,125 \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры: $S = S_{большой} - S_{4 \times треуг} = 25 \text{ см}^2 - 12,5 \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $12,5 \text{ см}^2$.

Способ 3: Через нахождение стороны квадрата

Закрашенная фигура является квадратом, и ее площадь можно найти по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

Сторону квадрата можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого лежат на линиях сетки. Длина каждого катета составляет 5 клеток.

В сантиметрах длина катетов: $5 \times 0,5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

По теореме Пифагора, квадрат длины стороны ($a^2$) равен сумме квадратов длин катетов: $a^2 = (2,5 \text{ см})^2 + (2,5 \text{ см})^2 = 6,25 \text{ см}^2 + 6,25 \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь квадрата $S = a^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $12,5 \text{ см}^2$.