Номер 6, страница 10, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

6 Отметь в тетради точку $O$ и начерти окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$, как на рисунке. С помощью циркуля отметь на этой окружности точку $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равна длине отрезка $OA$. Потом отметь точку $C$ так, чтобы длина отрезка $BC$ была равна длине отрезка $OA$. И так отметь ещё 3 точки и назови их. Соедини последовательно эти точки отрезками. Какая фигура получилась?

Для решения этой задачи выполним следующие шаги построения и анализа:

1. Построение точек на окружности

Сначала начертим окружность с центром в точке $O$ и отметим на ней точку $A$. Отрезок $OA$ является радиусом этой окружности, обозначим его длину как $R$.

Далее, используя циркуль, раствор которого установлен равным радиусу $OA$, будем последовательно отмечать новые точки на окружности:

• Установим иглу циркуля в точку $A$ и проведем дугу до пересечения с окружностью. Точку пересечения назовем $B$. По построению, длина хорды $AB$ равна радиусу окружности: $AB = OA = R$.
• Переставим иглу циркуля в точку $B$ и, не меняя раствора, проведем новую дугу до пересечения с окружностью. Эту точку назовем $C$. Длина хорды $BC$ также будет равна радиусу: $BC = OA = R$.
• Продолжим этот процесс, чтобы отметить еще 3 точки. Из точки $C$ найдем точку $D$, из $D$ — точку $E$, из $E$ — точку $F$. Таким образом, мы получим 6 точек на окружности ($A, B, C, D, E, F$), и для всех построенных хорд будет верно: $AB = BC = CD = DE = EF = R$. Если из точки $F$ провести еще одну дугу, она пересечет окружность в начальной точке $A$, так как $FA$ также будет равно $R$.

2. Анализ полученной фигуры

Соединим последовательно отрезками точки $A, B, C, D, E, F, A$. В результате получится многоугольник $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и одной из построенных хорд, например, $\triangle AOB$. В этом треугольнике:

• Сторона $OA$ — радиус ($OA = R$).
• Сторона $OB$ — радиус ($OB = R$).
• Сторона $AB$ по построению равна радиусу ($AB = R$).

Так как все три стороны треугольника $\triangle AOB$ равны ($OA = OB = AB = R$), он является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Значит, центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$.

Аналогично, все треугольники $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOE$, $\triangle EOF$ и $\triangle FOA$ являются равносторонними, и соответствующие им центральные углы также равны $60^\circ$. Сумма этих углов составляет $6 \times 60^\circ = 360^\circ$, что соответствует полному углу вокруг центра окружности.

Теперь рассмотрим углы самого многоугольника $ABCDEF$. Каждый его внутренний угол состоит из двух углов при основании двух соседних равносторонних треугольников. Например, угол $\angle ABC$ равен сумме углов $\angle ABO$ и $\angle CBO$. Поскольку $\triangle AOB$ и $\triangle COB$ — равносторонние, то $\angle ABO = 60^\circ$ и $\angle CBO = 60^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, мы получили многоугольник, у которого все 6 сторон равны между собой ($AB = BC = CD = DE = EF = FA = R$) и все 6 внутренних углов равны между собой (каждый по $120^\circ$). Такой многоугольник называется правильным шестиугольником.

Ответ: Получилась фигура — правильный шестиугольник.