Номер 4, страница 33, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

4 Начерти в тетради отрезки AC и BD, как показано на рисунке. Восстанови четырёхугольник ABCD по его диагоналям AC и BD. Выполни измерения и вычисли периметр этого четырёхугольника в сантиметрах. Что можно сказать о длинах сторон этого четырёхугольника? Является ли он квадратом? Почему? Можно ли изменить чертёж, чтобы четырёхугольник ABCD стал квадратом? Объясни свой ответ.

Выполни измерения и вычисли периметр этого четырёхугольника в сантиметрах.

1. Восстановим четырёхугольник, соединив последовательно точки A, B, C и D. Получим четырёхугольник ABCD.

2. Примем, что одна клетка на чертеже равна 0,5 см. Тогда 2 клетки равны 1 см.

3. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Измерим длины отрезков диагоналей по клеткам и переведём в сантиметры:
- Отрезок OA равен 4 клеткам, что составляет $4 \times 0.5 = 2$ см.
- Отрезок OC равен 4 клеткам, что составляет $4 \times 0.5 = 2$ см.
- Отрезок OB равен 5 клеткам, что составляет $5 \times 0.5 = 2.5$ см.
- Отрезок OD равен 3 клеткам, что составляет $3 \times 0.5 = 1.5$ см.

4. Диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ являются прямоугольными. Мы можем найти длины сторон четырёхугольника, используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$).

- Для сторон AB и BC (из $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$):
$AB = BC = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2.5^2} = \sqrt{4 + 6.25} = \sqrt{10.25} \approx 3.2$ см.

- Для сторон CD и DA (из $\triangle COD$ и $\triangle DOA$):
$CD = DA = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

5. Вычислим периметр P как сумму длин всех сторон:
$P = AB + BC + CD + DA \approx 3.2 + 3.2 + 2.5 + 2.5 = 6.4 + 5 = 11.4$ см.

Ответ: Длины сторон: $AB = BC \approx 3.2$ см, $CD = DA = 2.5$ см. Периметр четырёхугольника ABCD примерно равен 11,4 см.

Что можно сказать о длинах сторон этого четырёхугольника?

У данного четырёхугольника смежные стороны попарно равны: сторона AB равна стороне BC, а сторона CD равна стороне DA.

Ответ: Смежные стороны четырёхугольника попарно равны ($AB = BC$ и $CD = DA$). Такой четырёхугольник называется дельтоидом.

Является ли он квадратом? Почему?

Нет, данный четырёхугольник не является квадратом. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо выполнение нескольких условий, которые здесь нарушены:

1. У квадрата все стороны должны быть равны. В нашем случае стороны не равны ($AB \approx 3.2$ см, а $CD = 2.5$ см).

2. У квадрата диагонали должны в точке пересечения делиться пополам. В нашем случае диагональ AC делится пополам ($OA=OC$), а диагональ BD — нет ($OB \neq OD$).

Ответ: Нет, не является, потому что не все его стороны равны, а также его диагонали не делят друг друга пополам.

Можно ли изменить чертёж, чтобы четырёхугольник ABCD стал квадратом? Объясни свой ответ.

Да, можно. Квадрат — это четырёхугольник, у которого диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

На исходном чертеже диагонали уже взаимно перпендикулярны. Также они равны по длине: $AC = 4 + 4 = 8$ клеток, и $BD = 5 + 3 = 8$ клеток. Проблема в том, что они не делят друг друга пополам. Точка пересечения O является серединой для AC, но не является серединой для BD.

Чтобы четырёхугольник ABCD стал квадратом, нужно изменить положение диагонали BD так, чтобы точка O стала её серединой. Для этого нужно, чтобы отрезок OB был равен отрезку OD. Поскольку длина всей диагонали BD равна 8 клеткам, то $OB$ и $OD$ должны быть равны по 4 клетки каждый. Если мы сдвинем диагональ BD так, чтобы $OB = OD = 4$ клетки, то все условия для квадрата будут выполнены: диагонали будут равны, перпендикулярны и будут делить друг друга пополам.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно изменить положение диагонали BD так, чтобы точка пересечения O стала серединой для обеих диагоналей (то есть, чтобы $OB = OD = OA = OC = 4$ клетки). В этом случае полученный четырёхугольник будет квадратом.