Номер 11, страница 47, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

11 Ваня и Саша живут в одном доме. Ваня идёт от дома до школы 30 мин, а Саша — 40 мин. Через сколько минут Ваня догонит Сашу, если Саша вышел из дома на 5 мин раньше Вани?

Отмечай на схематическом чертеже цветными карандашами расположение мальчиков через каждые 5 минут. Это поможет тебе решить задачу.

Для решения задачи примем все расстояние от дома до школы за 1 (одну целую) единицу. Решим задачу по шагам.

1. Определим скорость каждого мальчика

Скорость показывает, какую часть всего пути мальчик проходит за одну минуту.

• Ваня проходит весь путь за 30 минут, следовательно, его скорость $v_В = \frac{1}{30}$ пути в минуту.
• Саша проходит весь путь за 40 минут, следовательно, его скорость $v_С = \frac{1}{40}$ пути в минуту.

2. Найдем расстояние, которое прошел Саша до выхода Вани

Саша вышел на 5 минут раньше. За это время он прошел расстояние, равное его скорости, умноженной на 5 минут:

$S_{преим} = v_С \times 5 = \frac{1}{40} \times 5 = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ пути.

Это и есть то расстояние, которое было между мальчиками в момент, когда Ваня начал движение.

3. Вычислим скорость сближения мальчиков

Ваня идет быстрее Саши, поэтому он будет его догонять. Скорость, с которой Ваня догоняет Сашу (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_В - v_С = \frac{1}{30} - \frac{1}{40}$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю, который равен 120:

$v_{сбл} = \frac{4}{120} - \frac{3}{120} = \frac{1}{120}$ пути в минуту.

Это означает, что каждую минуту Ваня сокращает расстояние до Саши на $\frac{1}{120}$ всего пути.

4. Найдем время, через которое Ваня догонит Сашу

Чтобы найти время, необходимо начальное расстояние между ними разделить на скорость их сближения:

$t = S_{преим} \div v_{сбл} = \frac{1}{8} \div \frac{1}{120}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$t = \frac{1}{8} \times 120 = \frac{120}{8} = 15$ минут.

Таким образом, Ваня догонит Сашу через 15 минут после своего выхода из дома.

Ответ: 15 минут.