Страница 101, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

9. Из 20 кг свежего картофеля получается 6 кг сушёного. Сколько свежего картофеля надо переработать, чтобы получить сушёного картофеля 60 кг? 3 ц? 3 т?

Для решения этой задачи сначала определим соотношение между массой свежего картофеля и массой сушёного картофеля, получаемого из него. Это соотношение поможет нам найти, сколько свежего картофеля требуется для производства 1 кг сушёного.

Из 20 кг свежего картофеля получается 6 кг сушёного. Найдем, во сколько раз масса свежего картофеля больше:

$20 \text{ кг} \div 6 \text{ кг} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Таким образом, для получения 1 кг сушёного картофеля необходимо взять в $\frac{10}{3}$ раз больше свежего. Теперь мы можем рассчитать необходимое количество свежего картофеля для каждого из заданных случаев.

60 кг

Чтобы получить 60 кг сушёного картофеля, нужно умножить эту массу на наше соотношение:

$60 \text{ кг} \times \frac{10}{3} = \frac{60 \times 10}{3} = \frac{600}{3} = 200 \text{ кг}$

Проверка через пропорцию:

20 кг свежего — 6 кг сушёного

$x$ кг свежего — 60 кг сушёного

$x = \frac{20 \times 60}{6} = 20 \times 10 = 200 \text{ кг}$

Ответ: чтобы получить 60 кг сушёного картофеля, надо переработать 200 кг свежего.

3 ц

Сначала переведём центнеры (ц) в килограммы. 1 центнер равен 100 кг.

$3 \text{ ц} = 3 \times 100 \text{ кг} = 300 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем, сколько свежего картофеля потребуется для 300 кг сушёного:

$300 \text{ кг} \times \frac{10}{3} = \frac{300 \times 10}{3} = \frac{3000}{3} = 1000 \text{ кг}$

1000 кг также можно выразить как 1 тонна (т) или 10 центнеров (ц).

Ответ: чтобы получить 3 ц сушёного картофеля, надо переработать 1000 кг (или 1 т) свежего.

3 т

Сначала переведём тонны (т) в килограммы. 1 тонна равна 1000 кг.

$3 \text{ т} = 3 \times 1000 \text{ кг} = 3000 \text{ кг}$

Рассчитаем необходимое количество свежего картофеля для 3000 кг сушёного:

$3000 \text{ кг} \times \frac{10}{3} = \frac{3000 \times 10}{3} = \frac{30000}{3} = 10000 \text{ кг}$

10000 кг можно выразить как 10 тонн.

Ответ: чтобы получить 3 т сушёного картофеля, надо переработать 10000 кг (или 10 т) свежего.

10. При посеве гороха на 100 м² расходуют 2 кг семян. Сколько килограммов гороха можно собрать с участка прямоугольной формы длиной 60 м и шириной 20 м, если урожай гороха в 16 раз больше, чем его расход при посеве?

Сколькими способами можно решить эту задачу?

Для ответа на первый вопрос решим задачу двумя способами.

Способ 1: Через расчет общего количества семян

1. Находим площадь прямоугольного участка.
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину.$S = \text{длина} \times \text{ширина}$$S = 60 \text{ м} \times 20 \text{ м} = 1200 \text{ м}^2$

2. Рассчитываем, сколько семян потребуется на весь участок.
По условию, на $100 \text{ м}^2$ расходуется $2 \text{ кг}$ семян. Сначала узнаем, во сколько раз наш участок больше $100 \text{ м}^2$.$1200 \text{ м}^2 \div 100 \text{ м}^2 = 12$Теперь умножим норму расхода семян на это число, чтобы найти общее количество семян.$2 \text{ кг} \times 12 = 24 \text{ кг}$Итак, для посева на всем участке потребуется $24 \text{ кг}$ семян гороха.

3. Вычисляем общий урожай.
Урожай в $16$ раз больше, чем количество израсходованных семян.$24 \text{ кг} \times 16 = 384 \text{ кг}$

Ответ: с участка можно собрать 384 кг гороха.

Способ 2: Через расчет урожайности с единицы площади

1. Находим урожайность гороха со $100 \text{ м}^2$.
На $100 \text{ м}^2$ высеивают $2 \text{ кг}$ семян, а урожай в $16$ раз больше. Рассчитаем, сколько килограммов гороха можно собрать с этой площади.$2 \text{ кг} \times 16 = 32 \text{ кг}$Следовательно, урожайность составляет $32 \text{ кг}$ с каждых $100 \text{ м}^2$.

2. Находим площадь всего участка.
$S = 60 \text{ м} \times 20 \text{ м} = 1200 \text{ м}^2$

3. Рассчитываем общий урожай со всего участка.
Узнаем, сколько раз по $100 \text{ м}^2$ содержится в общей площади участка.$1200 \text{ м}^2 \div 100 \text{ м}^2 = 12$Теперь умножим урожайность с $100 \text{ м}^2$ на это количество.$32 \text{ кг} \times 12 = 384 \text{ кг}$

Ответ: с участка можно собрать 384 кг гороха.

Сколькими способами можно решить эту задачу?

Эту задачу можно решить как минимум двумя основными логическими способами, которые были показаны выше. Они отличаются последовательностью действий:

1. Первый способ заключается в том, чтобы сначала найти общее количество семян, необходимое для засева всего участка, и уже потом вычислить итоговый урожай (Площадь > Общее количество семян > Общий урожай).
2. Второй способ состоит в том, чтобы сначала определить урожайность с определенной единицы площади (в данном случае, со $100 \text{ м}^2$), а затем умножить эту урожайность на количество таких единиц во всей площади участка (Урожайность с 100 м? > Площадь > Общий урожай).

Оба способа математически верны и приводят к одинаковому результату, но отражают разную логику подхода к решению.

Ответ: эту задачу можно решить как минимум двумя способами.

11. В два района отправлены учебники одинаковыми пачками: в один − 200 пачек, а в другой − 300 пачек. Сколько учебников отправлено в каждый район, если в первый район отправили на 2 000 учебников меньше, чем во второй?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем разницу в количестве пачек, чтобы определить, сколько учебников в одной пачке. Затем рассчитаем общее количество учебников для каждого района.

1. Найдем, на сколько больше пачек учебников было отправлено во второй район по сравнению с первым:

$300 - 200 = 100$ пачек

2. По условию задачи, эта разница в 100 пачек соответствует разнице в 2000 учебников. Теперь мы можем вычислить, сколько учебников находится в одной пачке:

$2000 \text{ учебников} \div 100 \text{ пачек} = 20$ учебников в одной пачке

3. Зная, что в каждой пачке содержится 20 учебников, рассчитаем общее количество учебников, отправленных в каждый район.

Количество учебников, отправленных в первый район:

$200 \text{ пачек} \times 20 = 4000$ учебников

Количество учебников, отправленных во второй район:

$300 \text{ пачек} \times 20 = 6000$ учебников

Проверка: разница между количеством учебников, отправленных во второй и первый районы, составляет $6000 - 4000 = 2000$ учебников, что соответствует условию задачи.

Ответ: в первый район отправлено 4000 учебников, а во второй — 6000 учебников.

12. Две бригады рабочих должны посадить 490 лип. Сколько лип посадит каждая бригада, если распределить работу по числу рабочих и если в первой бригаде 34 рабочих, а во второй 36?

Чтобы определить, сколько лип посадит каждая бригада, необходимо распределить общее количество лип (490) пропорционально количеству рабочих в каждой бригаде.

1. Сначала найдем общее количество рабочих в двух бригадах. В первой бригаде 34 рабочих, а во второй — 36.

Общее число рабочих составляет:

$34 + 36 = 70$ (рабочих)

2. Далее вычислим, сколько лип приходится на одного рабочего. Для этого разделим общее количество лип на общее количество рабочих:

$490 \text{ лип} / 70 \text{ рабочих} = 7$ (лип на одного рабочего)

3. Теперь мы можем рассчитать количество лип для каждой бригады, умножив число рабочих в бригаде на количество лип, приходящихся на одного рабочего.

Первая бригада, в которой 34 рабочих, посадит:

$34 \times 7 = 238$ (лип)

Вторая бригада, в которой 36 рабочих, посадит:

$36 \times 7 = 252$ (липы)

4. Для проверки правильности расчетов сложим количество лип для обеих бригад:

$238 + 252 = 490$ (лип)

Результат совпадает с общим количеством лип, указанным в условии задачи.

Ответ: первая бригада посадит 238 лип, а вторая бригада — 252 липы.

13. На двух участках посадили деревья: на одном 18 одинаковых рядов, на другом 14 таких же рядов. Всего посадили 1 152 дерева. Сколько деревьев посадили на каждом участке?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем общее количество рядов на двух участках.
Для этого сложим количество рядов на первом и на втором участках:$18 + 14 = 32$ (ряда).

2. Узнаем, сколько деревьев в одном ряду.
Поскольку в условии сказано, что ряды одинаковые, мы можем разделить общее количество деревьев на общее количество рядов:$1152 : 32 = 36$ (деревьев).

3. Вычислим, сколько деревьев посадили на каждом участке.
Чтобы найти количество деревьев на первом участке, умножим количество деревьев в одном ряду на количество рядов на этом участке:$36 * 18 = 648$ (деревьев).
Чтобы найти количество деревьев на втором участке, выполним аналогичное действие:$36 * 14 = 504$ (дерева).

Для проверки можно сложить количество деревьев с обоих участков: $648 + 504 = 1152$, что соответствует условию задачи.

Ответ: на первом участке посадили 648 деревьев, а на втором – 504 дерева.

14. Одна бригада рабочих может посадить 600 плодовых деревьев за 10 дней, а другая − за 15 дней. За сколько дней могут посадить эти деревья две бригады, работая вместе с такой же производительностью?

Чтобы решить эту задачу, нужно сначала найти производительность каждой бригады в отдельности, затем сложить их производительности, чтобы получить общую, и после этого рассчитать, сколько времени потребуется для выполнения всей работы при общей производительности.

1. Находим производительность первой бригады

Производительность — это количество работы (в данном случае, посаженных деревьев), выполняемое за единицу времени (один день). Первая бригада сажает 600 деревьев за 10 дней. Её производительность ($P_1$) составляет:

$P_1 = \frac{600 \text{ деревьев}}{10 \text{ дней}} = 60 \text{ деревьев/день}$

2. Находим производительность второй бригады

Вторая бригада сажает те же 600 деревьев за 15 дней. Её производительность ($P_2$) составляет:

$P_2 = \frac{600 \text{ деревьев}}{15 \text{ дней}} = 40 \text{ деревьев/день}$

3. Находим общую производительность двух бригад

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность ($P_{общ}$) будет равна сумме производительностей первой и второй бригад:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = 60 \text{ деревьев/день} + 40 \text{ деревьев/день} = 100 \text{ деревьев/день}$

4. Находим время для совместной работы

Теперь, зная общую производительность, можно найти время ($t$), за которое две бригады вместе посадят 600 деревьев. Для этого нужно весь объем работы разделить на общую производительность:

$t = \frac{600 \text{ деревьев}}{100 \text{ деревьев/день}} = 6 \text{ дней}$

Ответ: Две бригады, работая вместе, смогут посадить 600 деревьев за 6 дней.

15. В детский сад привезли 10 ящиков моркови, по 9 кг в каждом, и 8 одинаковых по массе ящиков свёклы. Всего привезли 170 кг овощей. Сколько килограммов свёклы было в одном ящике?

Составь и реши задачи, обратные данной.

Решение задачи
Для того чтобы найти, сколько килограммов свёклы было в одном ящике, нужно выполнить следующие действия:
1) Сначала найдем общую массу моркови. Для этого умножим количество ящиков с морковью на массу одного ящика:
$10 \cdot 9 = 90$ (кг) – масса всей моркови.
2) Теперь найдем общую массу свёклы. Для этого из общей массы всех овощей вычтем массу моркови:
$170 - 90 = 80$ (кг) – масса всей свёклы.
3) Зная общую массу свёклы и количество ящиков, мы можем найти массу одного ящика свёклы. Для этого разделим общую массу свёклы на количество ящиков:
$80 : 8 = 10$ (кг).
Ответ: в одном ящике было 10 кг свёклы.

Задачи, обратные данной

Обратная задача 1
Условие: В детский сад привезли 10 ящиков моркови по 9 кг в каждом и 8 одинаковых по массе ящиков свёклы по 10 кг в каждом. Сколько всего килограммов овощей привезли в детский сад?
Решение:
1) Найдем массу всей моркови: $10 \cdot 9 = 90$ (кг).
2) Найдем массу всей свёклы: $8 \cdot 10 = 80$ (кг).
3) Сложим массу моркови и свёклы, чтобы найти общую массу овощей: $90 + 80 = 170$ (кг).
Ответ: всего привезли 170 кг овощей.

Обратная задача 2
Условие: В детский сад привезли 170 кг овощей. Среди них было 8 ящиков свёклы по 10 кг в каждом, а остальное – морковь в ящиках, по 9 кг в каждом. Сколько ящиков моркови привезли в детский сад?
Решение:
1) Найдем общую массу свёклы: $8 \cdot 10 = 80$ (кг).
2) Найдем общую массу моркови, вычтя массу свёклы из общей массы овощей: $170 - 80 = 90$ (кг).
3) Разделим общую массу моркови на массу одного ящика, чтобы найти количество ящиков: $90 : 9 = 10$ (ящиков).
Ответ: привезли 10 ящиков моркови.

16. 1) Сестре 12 лет, а брату 7 лет. На сколько лет сестра будет старше брата через 5 лет? через 20 лет?

2) Сыну 9 лет, а его папа на 27 лет старше. Во сколько раз папа старше сына?

1)

Разница в возрасте между сестрой и братом — это постоянная величина, она не меняется с годами. Сначала найдем текущую разницу в возрасте:

$12 - 7 = 5$ (лет)

Сестра старше брата на 5 лет. Это означает, что она всегда будет старше его на 5 лет, независимо от того, сколько времени пройдет.

Чтобы убедиться в этом, можно вычислить их возраст в будущем для каждого из случаев:

Через 5 лет:
Возраст сестры: $12 + 5 = 17$ лет
Возраст брата: $7 + 5 = 12$ лет
Разница в возрасте: $17 - 12 = 5$ лет

Через 20 лет:
Возраст сестры: $12 + 20 = 32$ года
Возраст брата: $7 + 20 = 27$ лет
Разница в возрасте: $32 - 27 = 5$ лет

Ответ: И через 5 лет, и через 20 лет сестра будет старше брата на 5 лет.

2)

По условию, сыну 9 лет, а его папа на 27 лет старше. Сначала найдем возраст папы, для этого к возрасту сына прибавим разницу в возрасте:

$9 + 27 = 36$ (лет)

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз папа старше сына, необходимо возраст папы разделить на возраст сына:

$36 / 9 = 4$

Ответ: Папа старше сына в 4 раза.

РЕБУС:

Давайте решим этот математический ребус, восстановив все недостающие цифры в примере деления в столбик. Мы будем анализировать каждый шаг деления.

1. Первый шаг деления.

Мы делим четырехзначное число, начинающееся на 8, на 36. Частное — трехзначное число вида `*3*`.

Первая операция: первая цифра частного умножается на 36, и результат (`*2`) вычитается из первых двух цифр делимого (`8*`).

Найдем, какое произведение с множителем 36 является двузначным и оканчивается на 2. Для этого переберем возможные цифры:

• $1 \times 36 = 36$
• $2 \times 36 = 72$
• $3 \times 36 = 108$ (трехзначное, не подходит)
• $7 \times 36 = 252$ (трехзначное, не подходит)

Единственный подходящий вариант — $2 \times 36 = 72$. Значит, первая цифра частного равна 2, а вычитаемое число — 72.

Теперь рассмотрим вычитание: `8* - 72 = *1`. Чтобы разность `* - 2` оканчивалась на 1, вычитаемая цифра (`*` из `8*`) должна быть 3. Проверим: $83 - 72 = 11$. Это соответствует тому, что после вычитания и сноса следующей цифры мы получаем число `*11`.

2. Второй шаг деления.

После первого вычитания у нас получился остаток 11. Сносим следующую цифру делимого. В строке `*11` мы видим, что эта цифра — 1. Таким образом, делимое начинается на 831, а число для второго шага деления — 111.

Вторая цифра частного нам известна — это 3. Выполним умножение: $3 \times 36 = 108$.

Теперь вычитание: $111 - 108 = 3$.

3. Третий шаг деления.

К остатку 3 сносим последнюю, четвертую цифру делимого. Получается двузначное число `3*`. На это число делится нацело произведение последней цифры частного и 36, так как в конце деления остаток равен 0.

Найдем, какой кратное 36 является двузначным числом и начинается на 3. Единственный вариант — это $1 \times 36 = 36$.

Следовательно, последняя цифра делимого — 6, а последняя цифра частного — 1. Вычитание $36 - 36 = 0$ завершает деление.

Восстановленный пример:

Собрав все найденные цифры, мы получаем полный пример:

Делимое: 8316
Делитель: 36
Частное: 231

Проверка в столбик:

 8316 | 36- 72 |---- ---- | 231 111- 108 --- 36 - 36 ---- 0

Ответ: $8316 \div 36 = 231$.

1. Определение магической константы

Магический квадрат — это квадратная таблица, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны. Эта сумма называется магической константой. В данном квадрате полностью заполнена нижняя строка, что позволяет нам вычислить эту константу.

Сумма чисел в нижней строке: $40 + 32 + 28 = 100$.

Следовательно, сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна 100.
Ответ: Магическая константа квадрата равна 100.

2. Расчет значений в пустых ячейках

Обозначим ячейки квадрата следующим образом:

Теперь, зная магическую константу (100), мы можем последовательно найти все неизвестные значения.

• Найдем центральную ячейку (E), используя диагональ, идущую из левого нижнего угла в правый верхний:
  $40 + E + 22 = 100$
  $62 + E = 100$
  $E = 100 - 62 = 38$
• Найдем ячейку F, используя правый столбец:
  $22 + F + 28 = 100$
  $50 + F = 100$
  $F = 100 - 50 = 50$
• Найдем ячейку D, используя среднюю строку:
  $D + E + F = 100$
  $D + 38 + 50 = 100$
  $D + 88 = 100$
  $D = 100 - 88 = 12$
• Найдем ячейку B, используя центральный столбец:
  $B + E + 32 = 100$
  $B + 38 + 32 = 100$
  $B + 70 = 100$
  $B = 100 - 70 = 30$
• Найдем ячейку A, используя верхнюю строку:
  $A + B + 22 = 100$
  $A + 30 + 22 = 100$
  $A + 52 = 100$
  $A = 100 - 52 = 48$

Ответ: Пустые ячейки заполнены следующими числами: A=48, B=30, D=12, E=38, F=50.

3. Проверка и итоговый результат

Теперь, когда все ячейки заполнены, необходимо провести финальную проверку. Мы использовали для нахождения ячейки А верхнюю строку. Проверим результат, используя левый столбец и главную диагональ.

• Проверка по левому столбцу: $A + D + 40 = 48 + 12 + 40 = 100$. Результат верный.
• Проверка по главной диагонали (из левого верхнего в правый нижний угол): $A + E + 28 = 48 + 38 + 28 = 114$.

Как мы видим, сумма чисел на одной из главных диагоналей равна 114, а не 100. Это означает, что исходные числа в задании содержат ошибку и составить из них классический магический квадрат невозможно. Однако, если игнорировать условие для одной из диагоналей, решение существует.

Заполненный квадрат, в котором все строки и столбцы, а также одна диагональ дают в сумме 100, выглядит так:

Ответ: Задача в её первоначальном виде не имеет решения из-за противоречия в исходных данных. Представленный выше квадрат является наиболее близким решением, удовлетворяющим почти всем условиям магического квадрата.