Страница 98, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. Назови знакомые тебе геометрические фигуры, начерти их в тетради и обозначь буквами.

В геометрии существует множество фигур. Вот некоторые из них, с описанием того, как их начертить и обозначить.

Точка

Это самая простая геометрическая фигура. Чтобы начертить точку в тетради, достаточно легко коснуться листа бумаги кончиком остро заточенного карандаша. Точки принято обозначать большими (заглавными) латинскими буквами.

Пример: Поставьте на листе точку и подпишите рядом с ней букву A.

Ответ: Точка A.

Прямая

Прямая линия не имеет ни начала, ни конца, она бесконечна. В тетради мы чертим только видимую часть прямой с помощью линейки. Обозначить прямую можно двумя способами: одной маленькой (строчной) латинской буквой (например, $a$, $b$, $c$) или двумя большими (заглавными) латинскими буквами, которые обозначают две точки, лежащие на этой прямой.

Пример: Начертите линию по линейке. Обозначьте на ней две точки, например, A и B. Эту прямую можно назвать AB.

Ответ: Прямая AB.

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Чтобы начертить отрезок, нужно поставить две точки и соединить их по линейке. Обозначают отрезок двумя большими латинскими буквами, которыми названы его концы.

Пример: Поставьте две точки C и D и соедините их линией. Это будет отрезок CD.

Ответ: Отрезок CD.

Луч

Луч — это часть прямой, которая имеет начало в некоторой точке, но не имеет конца. Чтобы начертить луч, нужно поставить точку (начало луча) и провести из нее прямую линию в одном направлении. Обозначают луч двумя большими латинскими буквами. Первая буква — это начало луча, а вторая — любая другая точка, лежащая на луче.

Пример: Поставьте точку O. Из точки O проведите линию вправо и поставьте на ней точку K. Это будет луч OK.

Ответ: Луч OK.

Угол

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Чтобы начертить угол, нужно из одной точки провести два луча. Углы обозначают тремя большими латинскими буквами (вершина угла пишется в середине, например, $\angle ABC$) или одной буквой, обозначающей вершину ($\angle B$), если это не вызывает двусмысленности.

Пример: Поставьте точку B. Из нее проведите два луча, на одном отметьте точку A, а на другом — точку C. Получится угол ABC.

Ответ: Угол $\angle ABC$.

Треугольник

Треугольник — это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (вершин), и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки (сторон). Чтобы начертить треугольник, нужно отметить три точки и соединить их отрезками. Обозначается треугольник тремя большими латинскими буквами, которыми названы его вершины.

Пример: Отметьте три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, и соедините их отрезками AB, BC и AC.

Ответ: Треугольник $\triangle ABC$.

Прямоугольник

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90°). Для его чертежа удобно использовать клетчатую бумагу или угольник. Обозначают прямоугольник четырьмя большими латинскими буквами, которыми названы его вершины, перечисляя их последовательно.

Пример: Начертите фигуру с вершинами A, B, C, D, у которой все углы прямые, а сторона AB равна CD и сторона BC равна AD.

Ответ: Прямоугольник ABCD.

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Чтобы начертить его, нужно построить четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами. Обозначается квадрат, как и любой многоугольник, последовательным перечислением его вершин.

Пример: Начертите прямоугольник, у которого все четыре стороны имеют одинаковую длину. Обозначьте вершины буквами K, L, M, N.

Ответ: Квадрат KLMN.

Окружность

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Чтобы начертить окружность, используют циркуль. Окружность обозначают, указывая ее центр, например, окружность с центром в точке O. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом (R).

Пример: С помощью циркуля начертите окружность. Точку, в которой стояла игла циркуля, обозначьте буквой O.

Ответ: Окружность с центром в точке O.

2. Что ты знаешь о многоугольниках? Сколько вершин, углов и сторон у двенадцатиугольника?

Что ты знаешь о многоугольниках?

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией. Основными элементами многоугольника являются его стороны (отрезки, составляющие ломаную), вершины (точки соединения сторон) и углы (внутренние углы между соседними сторонами).

Ключевое свойство любого многоугольника заключается в том, что количество его вершин, сторон и углов всегда совпадает. Если многоугольник имеет $n$ сторон, то он также имеет $n$ вершин и $n$ углов. Такие фигуры называют $n$-угольниками.

Многоугольники можно классифицировать. Они бывают выпуклыми (все внутренние углы меньше $180^\circ$, и фигура лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей её сторону) и невыпуклыми или вогнутыми (имеют хотя бы один угол больше $180^\circ$). Также многоугольники делятся на правильные (выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны) и неправильные.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $(n-2) \times 180^\circ$.

Ответ: Многоугольник — это замкнутая фигура на плоскости, образованная отрезками (сторонами) и точками их соединения (вершинами). У любого многоугольника количество сторон, вершин и углов одинаково.

Сколько вершин, углов и сторон у двенадцатиугольника?

Двенадцатиугольник — это многоугольник, который имеет 12 углов. Согласно основному свойству многоугольников, которое было упомянуто выше, количество вершин, сторон и углов в любом многоугольнике одинаково.

Следовательно, у двенадцатиугольника также имеется 12 вершин и 12 сторон. Это верно для любого двенадцатиугольника, независимо от того, является ли он выпуклым, невыпуклым, правильным или неправильным.

Ответ: У двенадцатиугольника 12 вершин, 12 углов и 12 сторон.

3. Какие виды треугольников ты знаешь? Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним? разносторонним? Может ли тупоугольный треугольник быть равнобедренным? Начерти в тетради равнобедренный прямоугольный треугольник.

Какие виды треугольников ты знаешь?

Треугольники классифицируют по двум основным признакам: по величине углов и по соотношению длин сторон.

Классификация по углам:

• Остроугольный — треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).
• Прямоугольный — треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$).
• Тупоугольный — треугольник, у которого один угол тупой (то есть больше $90^\circ$).

Классификация по сторонам:

• Равносторонний (или правильный) — треугольник, у которого все три стороны равны.
• Равнобедренный — треугольник, у которого две стороны равны.
• Разносторонний — треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Ответ: Треугольники бывают остроугольные, прямоугольные, тупоугольные (по углам), а также равносторонние, равнобедренные и разносторонние (по сторонам).

Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним?

Нет, прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой. Поскольку сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. В прямоугольном же треугольнике по определению должен быть один прямой угол, равный $90^\circ$. Так как $90^\circ \neq 60^\circ$, эти два условия несовместимы.

Ответ: Нет, не может.

разносторонним?

Да, прямоугольный треугольник может быть разносторонним. Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Существует бесконечно много таких прямоугольных треугольников. Например, знаменитый "египетский треугольник" со сторонами-катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Он является прямоугольным, так как для него выполняется теорема Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Все его стороны (3, 4, 5) имеют разную длину, следовательно, он разносторонний.

Ответ: Да, может.

Может ли тупоугольный треугольник быть равнобедренным?

Да, тупоугольный треугольник может быть равнобедренным. Для этого необходимо, чтобы у треугольника был один угол больше $90^\circ$ (тупой) и две равные стороны. Если две стороны равны, то и углы при основании (третьей стороне) также равны. Например, можно взять треугольник с углами $110^\circ, 35^\circ, 35^\circ$. Сумма углов равна $110+35+35 = 180^\circ$. Один угол ($110^\circ$) — тупой, а два других угла равны, значит, противолежащие им стороны также равны. Следовательно, такой треугольник является одновременно и тупоугольным, и равнобедренным.

Ответ: Да, может.

Начерти в тетради равнобедренный прямоугольный треугольник.

Чтобы начертить равнобедренный прямоугольный треугольник, нужно выполнить следующие действия:

1. С помощью угольника начертить прямой угол ($90^\circ$).
2. От вершины этого угла отложить на его сторонах два одинаковых по длине отрезка (это будут равные катеты). Например, по 5 см каждый.
3. Соединить концы этих отрезков. Эта третья сторона называется гипотенузой.

В результате получится прямоугольный треугольник, у которого катеты равны, а углы при гипотенузе будут равны по $45^\circ$ каждый, так как $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Примерный вид такого треугольника:

Ответ: Чтобы начертить равнобедренный прямоугольный треугольник, нужно построить прямой угол, отложить от его вершины на сторонах два равных отрезка (катеты) и соединить их концы.

4. Какие виды четырёхугольников ты знаешь? Продолжи предложения:

1) Прямоугольник − это такой четырёхугольник, у которого ... .

2) Квадрат − это такой прямоугольник, у которого ... .

Существует множество видов четырёхугольников, которые различаются по свойствам своих сторон и углов. Наиболее известные из них: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

1) Прямоугольник — это такой четырёхугольник, у которого ...

... все углы прямые.

Это означает, что каждый из четырёх углов прямоугольника равен $90^\circ$. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому его противоположные стороны попарно равны и параллельны. Кроме того, диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Ответ: Прямоугольник — это такой четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2) Квадрат — это такой прямоугольник, у которого ...

... все стороны равны.

Квадрат — это частный случай прямоугольника, поэтому все его углы являются прямыми. Условие равенства всех сторон также делает его частным случаем ромба. Таким образом, квадрат является правильным четырёхугольником и обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба: все его стороны равны, все углы прямые, а диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делят углы пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Ответ: Квадрат — это такой прямоугольник, у которого все стороны равны.

5. 1) Среди четырёхугольников, изображённых на рисунке 1, найди прямоугольники и запиши их названия; подчеркни название квадрата.

2) Найди периметр прямоугольника ОРКС и площадь квадрата. Объясни, почему четырёхугольник ABCD нельзя назвать квадратом.

Поскольку изображение с "рисунком 1" отсутствует, решение задачи будет основано на гипотетических данных, которые могли бы быть представлены на таком рисунке. Предположим, что на рисунке 1 изображены следующие четырёхугольники:

• Прямоугольник ABCD со сторонами 6 см и 4 см.
• Квадрат MKTF со стороной 5 см.
• Прямоугольник ОРКС со сторонами 8 см и 3 см.
• Параллелограмм GHIJ, который не является прямоугольником.

На основе этих предположений выполним задания.

1)

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°). Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого все стороны равны.

Исходя из наших допущений, фигурами с четырьмя прямыми углами являются ABCD, MKTF и ОРКС. Следовательно, они все являются прямоугольниками.

Фигура MKTF является квадратом, так как это прямоугольник с равными сторонами. Согласно заданию, название квадрата необходимо подчеркнуть.

Ответ: Прямоугольники: ABCD, MKTF, ОРКС.

2)

Найдём периметр прямоугольника ОРКС.
Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется как удвоенная сумма длин его смежных сторон ($a$ и $b$). Формула: $P = 2 \cdot (a + b)$.
Для прямоугольника ОРКС стороны равны 8 см и 3 см.
$P_{ОРКС} = 2 \cdot (8 \text{ см} + 3 \text{ см}) = 2 \cdot 11 \text{ см} = 22 \text{ см}$.

Найдём площадь квадрата.
Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат длины его стороны ($a$). Формула: $S = a^2$.
В нашем примере квадрат — это MKTF со стороной 5 см.
$S_{MKTF} = (5 \text{ см})^2 = 25 \text{ см}^2$.

Объясним, почему четырёхугольник ABCD нельзя назвать квадратом.
Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как по определению все его углы прямые. Однако для того, чтобы прямоугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны. У прямоугольника ABCD смежные стороны имеют разную длину: 6 см и 4 см. Поскольку $6 \text{ см} \neq 4 \text{ см}$, условие равенства всех сторон не выполняется. Поэтому ABCD — это прямоугольник, но не квадрат.

Ответ: Периметр прямоугольника ОРКС равен 22 см. Площадь квадрата равна 25 см$^2$. Четырёхугольник ABCD нельзя назвать квадратом, потому что его смежные стороны не равны ($6 \text{ см} \neq 4 \text{ см}$), в то время как у квадрата все стороны должны быть одинаковой длины.

6. Определи вид каждого треугольника, если его периметр находят так:

1) 3 + 4 + 5 = 12 (см);

2) 3 · 2 + 4 = 10 (см);

3) 5 · 3 = 15 (см).

1) Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В данном случае периметр находится по формуле $P = 3 + 4 + 5 = 12$ (см). Это означает, что длины сторон треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Так как все три стороны имеют разную длину, такой треугольник называется разносторонним.
Ответ: разносторонний треугольник.

2) Периметр находится по формуле $P = 3 \cdot 2 + 4 = 10$ (см). Выражение $3 \cdot 2$ означает, что в треугольнике есть две стороны длиной по 3 см каждая. Третья сторона имеет длину 4 см. Таким образом, стороны треугольника равны 3 см, 3 см и 4 см. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
Ответ: равнобедренный треугольник.

3) Периметр находится по формуле $P = 5 \cdot 3 = 15$ (см). Это означает, что все три стороны треугольника имеют одинаковую длину, равную 5 см. Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 5 см. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Ответ: равносторонний треугольник.

7. Рассмотри рисунок 2 на полях и запиши названия всех прямоугольных, остроугольных и тупоугольных треугольников; подчеркни названия равнобедренных треугольников.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть "рисунок 2", который не был предоставлен. Без этого рисунка невозможно назвать конкретные треугольники. Однако, я могу предоставить подробное объяснение, как выполнить это задание, и привести пример.

Как классифицировать треугольники:

1. Классификация по углам:
   • Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. На чертеже такой угол обычно обозначается символом квадрата.
   • Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все три угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.
   • Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, то есть его градусная мера больше $90^\circ$.
2. Классификация по сторонам:
   • Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. В задании требуется подчеркнуть названия таких треугольников. На чертежах равные стороны обычно помечаются одинаковым количеством штрихов.

Пример выполнения задания:

Предположим, что на "рисунке 2" изображены следующие треугольники с их свойствами:

• $ \triangle ABC $ — прямоугольный, не равнобедренный.
• $ \triangle DEF $ — остроугольный и равнобедренный.
• $ \triangle GHI $ — тупоугольный, не равнобедренный.
• $ \triangle JKL $ — прямоугольный и равнобедренный.

Исходя из этих гипотетических данных, решение задачи выглядело бы так:

Прямоугольные треугольники
$ \triangle ABC $, $ \triangle JKL $
Ответ: $ \triangle ABC $, $ \triangle JKL $.

Остроугольные треугольники
$ \triangle DEF $
Ответ: $ \triangle DEF $.

Тупоугольные треугольники
$ \triangle GHI $
Ответ: $ \triangle GHI $.

8. Начерти 2 окружности с радиусами 2 см и 3 см сначала с общим центром, а потом с разными центрами.

Окружности с общим центром

Чтобы начертить две окружности с радиусами $R_1 = 2$ см и $R_2 = 3$ см и общим центром, необходимо выполнить следующие действия, используя циркуль и линейку.

1. Выберите на листе бумаги точку и обозначьте ее буквой О. Эта точка будет служить общим центром для обеих окружностей.
2. С помощью линейки измерьте и установите раствор циркуля равным 2 см.
3. Поместите иглу циркуля в точку О и аккуратно проведите первую окружность. Это будет окружность с радиусом $R_1 = 2$ см.
4. Далее, с помощью линейки установите раствор циркуля равным 3 см.
5. Не меняя положения центра, то есть оставив иглу циркуля в той же точке О, начертите вторую окружность. Это будет окружность с радиусом $R_2 = 3$ см.

В результате построения вы получите две концентрические окружности. Меньшая окружность с радиусом 2 см будет полностью расположена внутри большей окружности с радиусом 3 см. Расстояние между линиями этих двух окружностей в любой точке будет постоянным и равным разности их радиусов: $d = R_2 - R_1 = 3 \text{ см} - 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Ответ: Для построения двух окружностей с общим центром и радиусами 2 см и 3 см, следует выбрать на плоскости точку-центр, и из этой точки с помощью циркуля начертить сначала одну окружность с раствором ножек 2 см, а затем, из той же точки, вторую окружность с раствором ножек 3 см.

Окружности с разными центрами

Чтобы начертить две окружности с радиусами $R_1 = 2$ см и $R_2 = 3$ см и разными центрами, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выберите на листе бумаги точку и обозначьте ее $O_1$. Она будет центром первой окружности.
2. Установите раствор циркуля равным 2 см, поставьте иглу в точку $O_1$ и начертите первую окружность.
3. Выберите на листе бумаги другую точку, на некотором расстоянии от первой, и обозначьте ее $O_2$. Она будет центром второй окружности.
4. Установите раствор циркуля равным 3 см, поставьте иглу в точку $O_2$ и начертите вторую окружность.

Взаимное расположение этих окружностей зависит от расстояния $d$ между их центрами $O_1$ и $O_2$. Существует несколько возможных вариантов, и для выполнения задания можно выбрать любой из них:

• Пересекающиеся окружности: Если расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы ($R_2 - R_1 < d < R_1 + R_2$, то есть $1 \text{ см} < d < 5 \text{ см}$), окружности пересекутся в двух точках. Например, можно выбрать расстояние между центрами $d = 3$ см.
• Касающиеся окружности:
  • Внешнее касание: Если расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2 = 2 + 3 = 5$ см), окружности будут касаться друг друга в одной точке с внешней стороны.
  • Внутреннее касание: Если расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = R_2 - R_1 = 3 - 2 = 1$ см), меньшая окружность будет касаться большей изнутри в одной точке.
• Непересекающиеся окружности:
  • Если расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > 5$ см), окружности будут расположены отдельно друг от друга.
  • Если расстояние между центрами меньше разности радиусов ($d < 1$ см), меньшая окружность будет полностью находиться внутри большей, не касаясь ее.

Ответ: Для построения двух окружностей с разными центрами, нужно выбрать две различные точки ($O_1$ и $O_2$) в качестве центров. Из точки $O_1$ с помощью циркуля начертить окружность радиусом 2 см, а из точки $O_2$ — окружность радиусом 3 см. Взаимное расположение окружностей будет зависеть от расстояния между выбранными точками $O_1$ и $O_2$.